Was sind Primzahlen und warum sind sie wichtig?

Wenn Sie sich nur vage an Ihren Mathematikunterricht in der Grundschule erinnern, erinnern Sie sich vielleicht nicht daran, was eine Primzahl ist. Das ist schade, denn wenn Sie versuchen, Ihre E-Mails vor Hackern zu schützen oder vertraulich in einem virtuellen privaten Netzwerk (VPN) im Internet zu surfen , verwenden Sie Primzahlen, ohne es zu merken.

Das liegt daran, dass Primzahlen ein wesentlicher Bestandteil der RSA-Verschlüsselung sind , einem gängigen Werkzeug zum Schutz von Informationen, das Primzahlen als Schlüssel verwendet, um die Nachrichten zu entschlüsseln, die in riesigen Mengen von digitalem Kauderwelsch verborgen sind. Darüber hinaus haben Primzahlen andere Anwendungen in der modernen technologischen Welt, einschließlich einer wichtigen Rolle bei der Definition der Farbintensität der Pixel auf dem Computerbildschirm, auf den Sie gerade starren.

Also, was sind überhaupt Primzahlen? Und wie sind sie in der modernen Welt so wichtig geworden?

Wie Wolfram MathWorld erklärt , ist eine Primzahl – auch einfach Primzahl genannt – eine positive Zahl größer als 1, die nur durch Eins und sich selbst geteilt werden kann.

"Die einzige gerade Primzahl ist 2", erklärt Debi Mink , eine kürzlich pensionierte außerordentliche Professorin für Erziehungswissenschaften an der Indiana University Southeast, deren Expertise unter anderem den Unterricht in elementarer Mathematik umfasst. "Alle anderen Primzahlen sind ungerade Zahlen."

Zahlen wie 2, 3, 5, 7, 11, 13 und 17 gelten alle als Primzahlen. Zahlen wie 4, 6, 8, 9, 10 und 12 sind es nicht.

Mark Zegarelli, Autor zahlreicher Bücher über Mathematik in der beliebten „For Dummies“ -Reihe, der auch Testvorbereitungskurse, Angebote eine Illustration denen Münzen lehrt , dass er mit einigen seiner Studenten verwendet die Differenz zwischen Primzahlen und zu erklären , zusammengesetzte Zahlen , die sein kann , geteilt durch andere Zahlen außer eins und sich selbst. (Zusammengesetzte Zahlen sind das Gegenteil von Primzahlen.)

"Denken Sie an die Zahl 6", sagt Zegarelli und zitiert eine zusammengesetzte Zahl. „Stellen Sie sich vor, Sie haben sechs Münzen. Sie könnten sie zu einem Rechteck mit zwei Reihen zu je drei Münzen formen. Sie können das auch mit acht tun, indem Sie vier Münzen in zwei Reihen legen. Mit der Zahl 12 könnten Sie es zu mehr als eine Art von Rechtecken – du könntest zwei Reihen mit sechs Münzen haben oder dreimal vier.“

"Aber wenn Sie die Zahl 5 nehmen, egal wie Sie es versuchen, Sie können sie nicht in ein Rechteck setzen", bemerkt Zegarelli. „Das Beste, was Sie tun können, ist, es in eine Reihe zu reihen, eine einzelne Reihe von fünf Münzen. Sie könnten also 5 eine nicht rechteckige Zahl nennen. Aber der einfachere Weg, dies zu sagen, ist, sie als Primzahl zu bezeichnen.“

Es gibt viele andere Primzahlen – 2, 3, 7 und 11 stehen auch auf der Liste, und es rollt von dort aus weiter. Der griechische Mathematiker Euklid, zurück in circa 300 BCE, entwickelte einen Beweis für die Unendlichkeit des Primes , die der erste mathematische Beweis gewesen sein können zeigen , dass es eine unendliche Anzahl von Primzahlen ist. (Im antiken Griechenland, wo das moderne Konzept der Unendlichkeit nicht ganz verstanden wurde, beschrieb Euklid die Quantität der Primzahlen einfach als „mehr als jede zugewiesene Vielzahl von Primzahlen“. )

Eine andere Möglichkeit, Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen zu verstehen, besteht darin, sie sich als Produkt von Faktoren vorzustellen, sagt Zegarelli. „2 mal 3 ist gleich 6, also sind 2 und 3 Faktoren von 6. Es gibt also zwei Möglichkeiten, sechs zu bilden – 1 mal 6 und 2 mal 3. Ich betrachte sie gerne als Faktorpaare. Also, mit einem zusammengesetzten Zahl hast du mehrere Faktorpaare, während du bei einer Primzahl nur ein Faktorpaar hast, einmal die Zahl selbst."

Der Beweis, dass die Anzahl der Primzahlen unendlich ist, ist nicht so schwer, sagt Zegarelli. „Stellen Sie sich vor, es gibt eine letzte, größte Primzahl. Wir nennen sie P. Also nehme ich alle Primzahlen bis P und multipliziere sie alle miteinander. Wenn ich das tue und eine zum Produkt addiere , diese Zahl muss eine Primzahl sein."

Wenn eine Zahl dagegen zusammengesetzt ist, ist sie immer durch eine Anzahl niedrigerer Primzahlen teilbar. „Ein Komposit könnte auch durch andere Komposits teilbar sein, aber schließlich können Sie es in eine Menge von Primzahlen zerlegen.“ (Ein Beispiel: Die Zahl 48 hat 6 und 8 als Faktoren, aber Sie können sie weiter zerlegen in 2 mal 3 mal 2 mal 2 mal 2.)

Warum Primzahlen wichtig sind

Warum also üben Primzahlen seit Tausenden von Jahren eine solche Faszination auf Mathematiker aus? Wie Zegarelli erklärt, basiert ein Großteil der höheren Mathematik auf Primzahlen. Aber es gibt auch die Kryptographie, bei der Primzahlen eine entscheidende Bedeutung haben, denn wirklich große Zahlen besitzen eine besonders wertvolle Eigenschaft. Es gibt keinen schnellen und einfachen Weg, um festzustellen, ob es sich um Prime oder Composite handelt, sagt er.

Die Schwierigkeit, zwischen riesigen Primzahlen und riesigen zusammengesetzten Zahlen zu unterscheiden, macht es einem Kryptographen möglich, riesige zusammengesetzte Zahlen zu finden, die Faktoren von zwei wirklich großen Primzahlen sind, die aus Hunderten von Ziffern bestehen.

„Stellen Sie sich vor, das Schloss an Ihrer Tür ist eine 400-stellige Zahl“, sagt Zegarelli. „Der Schlüssel ist eine der 200-stelligen Zahlen, die verwendet wurden, um diese 400-stellige Zahl zu erstellen. Wenn ich einen dieser Faktoren in der Tasche habe, habe ich den Schlüssel zum Haus.“ Wenn es diese Faktoren nicht gibt, ist es verdammt schwer, reinzukommen.

Aus diesem Grund haben Mathematiker in einem laufenden Projekt namens Great Internet Mersenne Prime Search weiter daran gearbeitet, immer größere Primzahlen zu finden . Im Jahr 2018 führte dieses Projekt zur Entdeckung einer Primzahl, die aus 23.249.425 Ziffern bestand, genug, um 9.000 Buchseiten zu füllen, wie der Mathematiker der University of Portsmouth (England) Ittay Weiss es in The Conversation beschrieb . Es dauerte 14 Jahre Berechnungen, um die gigantische Primzahl zu finden, die mehr als 230.000 Mal größer ist als die geschätzte Anzahl von Atomen im beobachtbaren Universum!

Sie können sich vorstellen, wie beeindruckt Euclid davon sein könnte.

Das ist jetzt cool

Obwohl viele geglaubt haben, dass Primzahlen zufällig sind, beschrieben zwei Mathematiker der Stanford University in einem Papier aus dem Jahr 2016 ein zuvor unbekanntes scheinbares Muster, bei dem Primzahlen tendenziell von anderen Primzahlen gefolgt werden, die auf bestimmte Ziffern enden, wie in diesem Wired-Artikel beschrieben . Unter den ersten Milliarde Primzahlen ist beispielsweise eine Primzahl, die auf 9 endet, ungefähr 65 Prozent wahrscheinlicher, dass eine Primzahl auf eins endet, als auf eine Primzahl, die auf neun endet.