素数とは何ですか、なぜそれらが重要なのですか？

小学校の数学の授業をぼんやりと覚えているだけでは、素数が何であるかを覚えていないかもしれません。メールをハッカーから保護したり、仮想プライベートネットワーク（VPN）で機密情報を閲覧したりしようとしている場合は、気付かないうちに素数を使用しているため、これは残念です。

これは、素数が情報を保護するための一般的なツールであるRSA暗号化の重要な部分であるためです。これは、素数をキーとして使用して、デジタルジブリッシュに偽装された膨大な量のメッセージの中に隠されたメッセージのロックを解除します。さらに、素数には、現在見つめているコンピューター画面上のピクセルの色の濃さを定義する重要な役割など、現代の技術の世界で他の用途があります。

それで、とにかく素数は何ですか？そして、それらはどのようにして現代の世界でそれほど重要になったのでしょうか？

Wolfram MathWorldが説明する、素数-単に素数として知られている-一つだけ自体によって分割することができる1以上の正の数も大きいです。

「唯一の素数は2です」と、インディアナ大学サウスイースト校の最近引退した准教授であるDebi Minkは説明します。彼の専門知識には、算数の教育が含まれます。「他のすべての素数は奇数です。」

2、3、5、7、11、13、17などの数字はすべて素数と見なされます。4、6、8、9、10、12のような数字はそうではありません。

マーク・ゼガレリ、彼は素数との違いを説明するために彼の学生の何人かで使用することも、テスト準備コースを教えシリーズ、申し出コインを含むイラスト「ダミーのため」人気で数学上の多くの本の著者で合成数をすることができ、 1つと自分以外の他の数で割ったもの。（合成数は素数の反対です。）

「6という数字について考えてみてください」とゼガレッリは合成数を引用して言います。「6枚のコインがあると想像してみてください。3枚のコインを2列に並べた長方形に成形できます。4枚のコインを2列に並べることで8枚でもできます。12の数字で次のようにできます。複数の種類の長方形— 6枚のコインを2列、または4の3倍にすることができます。」

「しかし、5番を取ると、どのように試しても、長方形に入れることはできません」とZegarelli氏は述べています。「あなたができる最善のことは、それを一列に並べて、5枚のコインを一列に並べることです。したがって、5を非長方形の数と呼ぶことができます。しかし、それを言う簡単な方法は、それを素数と呼ぶことです。」

他にもたくさんの素数があります— 2、3、7、11もリストにあり、そこから動き続けます。ギリシャの数学者ユークリッドは、紀元前300年頃に、素数の無限大の証明を考案しました。これは、素数が無限にあることを示す最初の数学的証明であった可能性があります。 （現代の無限大の概念が完全に理解されていなかった古代ギリシャでは、ユークリッドは素数の量を単に「割り当てられた多数の素数よりも多い」と説明していました。）

素数と合成数を理解する別の方法は、それらを因子の積として考えることです、とZegarelliは言います。「2×3は6に等しいので、2と3は6の因数です。したがって、6を作成する方法は2つあります。1×6と2×3です。私はそれらを因数のペアと考えるのが好きです。数の場合、複数の因子ペアがありますが、素数の場合、因子ペアは1つだけで、数自体の1倍になります。」

素数の数が無限であることを証明することはそれほど難しいことではありません、とゼガレッリは言います。「最後の最大の素数があると想像してみてください。これをPと呼びます。それでは、すべての素数をPまで取り、それらをすべて掛け合わせます。そうすると、1つを製品に追加します。 、その数は素数でなければなりません。」

対照的に、数が合成数である場合、それは常にいくつかのより低い素数で割り切れます。「コンポジットは他のコンポジットでも割り切れる可能性がありますが、最終的には素数のセットに分解できます。」（例：数値48には6と8が因子として含まれていますが、さらに分解することができます。 2回3回2回2回2.）

素数が重要な理由

では、なぜ素数は何千年もの間数学者の間でそのような魅力を持ってきたのでしょうか？Zegarelliが説明するように、多くの高等数学は素数に基づいています。しかし、非常に多くの数が特に価値のある特性を持っているため、素数が非常に重要である暗号化もあります。それらが素数であるか合成であるかを判断するための迅速で簡単な方法はありません、と彼は言います。

巨大な素数と巨大な合成数を区別するのが難しいため、暗号研究者は、数百桁で構成される2つの非常に大きな素数の要素である巨大な合成数を思い付くことができます。

「ドアの鍵が400桁の数字だと想像してみてください」とゼガレッリは言います。「鍵は、その400桁の数字を作成するために使用された200桁の数字の1つです。ポケットにこれらの要素の1つがあれば、家の鍵を持っています。」しかし、そうでない場合はそれらの要因はありません、それは入るのがかなり難しいです。

そのため、数学者は、Great Internet Mersenne Prime Searchと呼ばれる進行中のプロジェクトで、ますます大きな素数を考え出すために努力を続けてきました。2018年、そのプロジェクトは、ポーツマス大学（イギリス）の数学者IttayWeissがTheConversationで説明したように、 23,249,425桁で構成され、9,000冊の本のページを埋めるのに十分な素数の発見につながりました。観測可能な宇宙の推定原子数の23万倍以上の巨大素数を生み出すのに14年の計算が必要でした！

それによってユークリッドがどれほど感銘を受けたか想像できます。

今それはクールです

多くの人が素数はランダムであると信じていますが、2016年の論文で、スタンフォード大学の2人の数学者は、このWiredの記事で詳しく説明しているように、素数の後に特定の桁で終わる他の素数が続く傾向がある、これまで知られていなかった見かけのパターンについて説明しました。たとえば、最初の10億の素数の中で、9で終わる素数は、9で終わる素数が続くよりも、1で終わる素数が続く可能性が約65％高くなります。