A Constante de Euler

“e”. Todos nós já nos deparamos com “e”. O que é isso?

É o quinto alfabeto e a segunda vogal da língua inglesa. É o que dizemos quando mostramos nossos dentes a alguém. Mas, os matemáticos a reconhecem como a constante de Euler . Ao lado de outras constantes matemáticas importantes como π , i, Φ , sqrt{2} etc., esse número constante e irracional tem um valor de 2,718281828459045235……

A maioria das constantes matemáticas são geométricas. Por exemplo, π é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, sqrt{2} é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem a unidade. Mas, “e” é uma constante que não é definida pela geometria ou qualquer forma. Baseia-se no crescimento ou taxa de mudança. Mas como?

Vamos voltar ao século 17, quando Jacob Bernoulli trabalhava com juros compostos, ou seja, ganhando juros sobre o seu dinheiro.

Suponha que você faça parte de um banco, um banco muito generoso. Digamos que você deu ao banco ₹ 1 e o banco paga juros de 100% ao ano. (Um banco muito generoso, de fato). Então agora, no final do ano, você terá ₹2. Portanto, se você ganhar 50% de juros a cada 6 meses, ficará com o mesmo valor, ₹ 2? Ou mais do que isso? ou menos que isso? Vamos calcular e ver, ok?

Bem, isso mostra que se você receber 50% de juros a cada 6 meses, isso o ajudará a ganhar mais do que ter juros de 100% ao ano. E se você cobrar 1/12 de juros todo mês?

Então, será,

Se 1/52 de juros for dado por semana, seu valor final seria,

Que tal 1/365 de juros por dia, então seu valor no final do ano depois de dar ₹1 ao banco seria,

Da mesma forma, você pode calcular a quantidade de dinheiro que ganha a cada hora, a cada minuto, a cada segundo ou mesmo a cada milissegundo!

Então, o que você observa? O valor é calculado conforme n aumenta usando a fórmula geral, como

Então, você pode notar que conforme o valor de n aumenta, o valor está se aproximando cada vez mais de um certo valor. Este é o valor de “e”.

Mas, Jacob Bernoulli não calculou o valor da constante. Ele apenas sabia que seu valor estaria entre 2 e 3. Foi Euler quem finalmente calculou essa constante e provou que ela era irracional. Ele usou uma fórmula para calcular o valor, não

Mas outra fórmula. Ele usou a seguinte fórmula.

Esta é uma fração contínua . Você pode dizer que, como continua para sempre, há um padrão para esta fração, 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,……Então, se durar para sempre, então, é uma fração irracional. Se tivesse terminado, teria sido racional, pois você pode escrevê-lo como uma fração. Assim, isso prova que “e” é uma constante irracional.

Para calcular o valor de “e”, Euler usou uma fórmula diferente. Aquilo é,

“e” é a linguagem natural do crescimento, é a linguagem natural do cálculo. Porque?

A figura dada acima mostra o gráfico de e^x. Agora, a especialidade de um gráfico e^x é que, se você pegar qualquer ponto no gráfico, o valor desse ponto é e^x, o gradiente nesse ponto é e^x e a área sob o gráfico desse ponto em diante para -∞ também é e^x. Assim, quando você integra ou diferencia e^x, obtém o próprio e^x. Esta constante “e” forma uma ferramenta muito forte no cálculo.

A constante de Euler “e” também é conhecida por reunir algumas das grandes constantes da matemática em uma fórmula, ou seja, raiz de -1, que é i, π, 1 e 0. Isso também é muitas vezes denominado como o mais bela equação em matemática:

Escreverei mais sobre essa equação em um próximo artigo.