Die Mathematik ansonsten einfach aussehender Objekte kann überraschend verwirrend sein. Es gibt wahrscheinlich kein besseres Beispiel dafür als den Möbius-Streifen.
Es ist ein einseitiges Objekt, das hergestellt werden kann, indem man einfach ein Stück Papier dreht und die Enden mit etwas Klebeband verbindet. Wenn Sie der Schleife mit dem Finger folgen würden, landen Sie schließlich genau dort, wo Sie begonnen haben, und haben während der Fahrt die gesamte Oberfläche der Schleife berührt. Diese einfache Schöpfung, der Möbiusstreifen, ist grundlegend für die gesamte Topologie und dient als Inbegriff verschiedener mathematischer Prinzipien.
Eines dieser Prinzipien ist die Nichtorientierbarkeit , das heißt die Unfähigkeit für Mathematiker, einem Objekt Koordinaten zuzuordnen, sagen wir oben oder unten oder von einer Seite zur anderen. Dieses Prinzip hat einige interessante Ergebnisse, da Wissenschaftler nicht ganz sicher sind, ob das Universum orientierbar ist.
Dies stellt ein verwirrendes Szenario dar: Wenn eine Rakete mit Astronauten lange genug ins All flog und dann zurückkehrte, wenn das Universum nicht ausrichtbar wäre, wäre es möglich, dass alle Astronauten an Bord rückwärts zurückkehren würden.
Mit anderen Worten, die Astronauten würden als Spiegelbilder ihres früheren Selbst zurückkommen, völlig umgedreht. Ihre Herzen wären eher rechts als links und sie könnten eher Linkshänder als Rechtshänder sein. Wenn einer der Astronauten vor dem Flug sein rechtes Bein verloren hätte, würde dem Astronauten bei der Rückkehr das linke Bein fehlen. Dies geschieht, wenn Sie eine nicht ausrichtbare Fläche wie einen Möbiusstreifen durchqueren.
Während Sie hoffentlich überwältigt sind – zumindest nur ein bisschen – müssen wir einen Schritt zurücktreten. Was ist ein Möbius-Streifen und wie kann ein so komplexes mathematisches Objekt durch einfaches Drehen eines Blattes Papier hergestellt werden?
Die Geschichte des Möbiusstreifens
Der Möbius-Streifen (manchmal als "Möbius-Streifen" geschrieben) wurde erstmals 1858 von einem deutschen Mathematiker namens August Möbius entdeckt, als er geometrische Theorien erforschte. Während Möbius die Entdeckung weitgehend zugeschrieben wird (daher der Name des Streifens), wurde sie fast gleichzeitig von einem Mathematiker namens Johann Listing entdeckt. Er hielt sich jedoch mit der Veröffentlichung seiner Werke zurück und wurde von August Möbius geschlagen.
Der Streifen selbst ist einfach als eine einseitige, nicht orientierbare Oberfläche definiert, die durch Hinzufügen einer halben Drehung zu einem Band erzeugt wird. Möbius-Streifen können jedes Band sein, das eine ungerade Anzahl von Halbdrehungen hat, die letztendlich dazu führen, dass das Band nur eine Seite und folglich eine Kante hat.
Seit seiner Entdeckung fasziniert der einseitige Streifen Künstler und Mathematiker. Der Streifen betörte sogar MC Escher , was zu seinen berühmten Werken "Möbius Strip I & II" führte .
Die Entdeckung des Möbiusstreifens war auch grundlegend für die Entstehung des Gebiets der mathematischen Topologie , der Untersuchung geometrischer Eigenschaften, die unverändert bleiben, wenn ein Objekt verformt oder gedehnt wird. Topologie ist für bestimmte Bereiche der Mathematik und Physik, wie Differentialgleichungen und Stringtheorie, von entscheidender Bedeutung.
Zum Beispiel ist eine Tasse nach topographischen Prinzipien eigentlich ein Donut . Der Mathematiker und Künstler Henry Segerman erklärt es am besten in einem YouTube-Video : "Wenn du eine Kaffeetasse nimmst, kannst du die Stelle, an der der Kaffee hinkommt , irgendwie aufheben und du kannst den Griff ein wenig herausdrücken und schließlich kannst du ihn verformen in [eine] symmetrische runde Donutform." (Dies erklärt den Witz, dass ein Topologe jemand ist, der den Unterschied zwischen einem Donut und einer Kaffeetasse nicht sehen kann.)
Praktische Anwendungen für den Mobius Strip
Der Möbius-Streifen ist mehr als nur große mathematische Theorie: Er hat einige coole praktische Anwendungen, ob als Lehrmittel für komplexere Objekte oder in Maschinen.
Da beispielsweise der Möbius-Streifen physikalisch einseitig ist, stellt der Einsatz von Möbius-Streifen in Förderbändern und anderen Anwendungen sicher, dass der Gurt selbst während seiner gesamten Lebensdauer keinen ungleichmäßigen Verschleiß erfährt. Associate Professor NJ Wildberger von der School of Mathematics der University of New South Wales, Australien, erklärte während einer Vortragsreihe, dass Antriebsriemen in Maschinen oft mit einem Drall versehen werden, "um den Riemen absichtlich auf beiden Seiten gleichmäßig zu verschleißen". Der Möbiusstreifen ist auch in der Architektur zu sehen, zum Beispiel die Wuchazi-Brücke in China.
Dr. Edward English Jr. , Mathematiklehrer an der Mittelschule und ehemaliger Optiker, sagt, dass sein Lehrer ihn, als er in der Grundschule zum ersten Mal von dem Möbius-Streifen erfuhr, einen mit Papier erstellen ließ und den Möbius-Streifen entlang seiner Länge schnitt, wodurch ein längerer Streifen mit zwei vollen Drehungen.
"Ich glaube, dass es mir geholfen hat, von diesem Konzept der zwei 'Zustände' fasziniert und ihm ausgesetzt zu sein, als ich auf Auf- und Ab-Spin von Elektronen stieß", sagt er und bezieht sich auf seinen Ph.D. Studien. "Verschiedene Ideen der Quantenmechanik waren für mich keine so seltsamen Konzepte, die ich akzeptieren und verstehen konnte, weil der Möbius-Streifen mich in solche Möglichkeiten eingeführt hat." Für viele dient der Möbiusstreifen als erster Einstieg in die komplexe Geometrie und Mathematik.
Wie erstellt man einen Möbius-Streifen?
Einen Möbius-Streifen zu erstellen ist denkbar einfach. Nehmen Sie einfach ein Stück Papier und schneiden Sie es in einen dünnen Streifen, sagen wir ein Zoll oder 2 breit (2,5-5 cm). Sobald Sie diesen Streifen geschnitten haben, drehen Sie einfach eines der Enden um 180 Grad oder eine halbe Drehung. Nehmen Sie dann etwas Klebeband und verbinden Sie dieses Ende mit dem anderen Ende, sodass ein Ring mit einer halben Drehung im Inneren entsteht. Sie haben jetzt einen Möbius-Streifen!
Sie können die Prinzipien dieser Form am besten beobachten, indem Sie Ihren Finger nehmen und den Seiten des Streifens folgen. Sie werden es schließlich ganz um die Form herum schaffen und Ihren Finger wieder dort finden, wo er angefangen hat.
Schneidet man einen Möbius-Streifen über die gesamte Länge in der Mitte ab, bleibt eine größere Schlaufe mit vier Halbdrehungen übrig. Dadurch erhalten Sie eine verdrehte Kreisform, die jedoch immer noch zwei Seiten hat. Diese Dualität, die Dr. English erwähnte, half ihm, komplexere Prinzipien zu verstehen.
Das ist jetzt cool
Wenn Sie einen Bagel entlang des Weges eines Möbiusstreifens schneiden , bleiben zwei verbundene Bagelringe übrig. Nicht nur das, sondern die Schnittfläche ist größer, als wenn Sie den Bagel nur halbieren, sodass Sie mehr Frischkäse auf dem Bagel verteilen können, um ihn zu essen.
