In Dan Browns Mega-Bestseller-Mystery-Thriller "The Da Vinci Code" aus dem Jahr 2003 gibt es in dem Buch ein wenig Repartee zwischen dem Helden des Buches, Robert Langdon, und der Kryptografin Sophie Neveu, in der sie Skepsis über den Wert "von religiösen Gläubigen, die nach ihr leben" äußert Glaubensrichtungen, die wundersame Ereignisse beinhalten. Es scheint, dass ihre Realität falsch ist", spottet sie.
Langdon lacht und sagt, dass diese Überzeugungen nicht falscher seien, "als die einer mathematischen Kryptografin, die an die imaginäre Zahl 'i' glaubt, weil sie ihr hilft, Codes zu knacken".
Für diejenigen von uns, die nicht mathematisch veranlagt sind , war Langdons Witz ein bisschen rätselhaft. Was zum Teufel redet er, wenn er sagt, dass eine Zahl imaginär ist? Wie kann das sein?
Wie sich jedoch herausstellt, ist eine imaginäre Zahl – im Grunde eine Zahl, die im Quadrat zu einer negativen Zahl führt – wirklich eine Sache der Mathematik, die erstmals im 14. und 16. Jahrhundert als Lösung für bestimmte verwirrende Gleichungen entdeckt wurde. Ursprünglich als eine Art Salontrick gedacht, wurden sie in den Jahrhunderten seitdem als Werkzeug für die komplexe Konzeptualisierung der Welt angesehen und sind heute in Bereichen von der Elektrotechnik bis zur Quantenmechanik nützlich.
„Wir haben imaginäre Zahlen aus den gleichen Gründen erfunden wie negative Zahlen“, erklärt Christopher Moore . Er ist Physiker am Santa Fe Institute , einer unabhängigen Forschungseinrichtung in New Mexico, und Co-Autor mit Stephan Mertens des 2011 erschienenen Buches „ The Nature of Computation “.
"Beginnen Sie mit gewöhnlicher Arithmetik", fährt Moore fort. „Was ist zwei minus sieben? Wenn du noch nie von negativen Zahlen gehört hast, macht das keinen Sinn. Es gibt keine Antwort. Du kannst keine negativen fünf Äpfel haben, oder? fünf Äpfel oder fünf Dollar. Als die Leute mit der Buchhaltung und Buchführung begannen, brauchten wir dieses Konzept." In ähnlicher Weise kennen wir heute alle die Idee, dass wir einen negativen Saldo auf unseren Bankkonten haben könnten, wenn wir große Schecks ausstellen, um Dinge zu bezahlen, aber nicht genug Geld haben, um sie zu decken.
Kreatives Denken ist ein langer Weg
Eine andere Möglichkeit, negative Zahlen zu betrachten – und dies wird sich später als nützlich erweisen – besteht darin, in einem Stadtviertel herumzulaufen, sagt Moore. Wenn Sie falsch abbiegen und in die entgegengesetzte Richtung von unserem Ziel ausgehen – sagen wir, fünf Blocks südlich, wenn Sie nach Norden hätten gehen sollen – können Sie sich das vorstellen, als würden Sie fünf negative Blocks nach Norden gehen.
"Durch die Erfindung negativer Zahlen erweitert es Ihr mathematisches Universum und ermöglicht es Ihnen, über Dinge zu sprechen, die zuvor schwierig waren", sagt Moore.
Imaginäre Zahlen und komplexe Zahlen – also Zahlen, die eine imaginäre Komponente enthalten – sind ein weiteres Beispiel für diese Art des kreativen Denkens. Wie Moore es erklärt: „Wenn ich Sie frage, was ist die Quadratwurzel aus neun, ist das einfach, oder? Die Antwort ist drei – es könnte aber auch minus drei sein“, denn die Multiplikation von zwei negativen ergibt ein positives .
Aber was ist die Quadratwurzel von negativ eins? Gibt es eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, die negativ eins ergibt? "Auf einer Ebene gibt es keine solche Zahl", sagt Moore.
Aber die Mathematiker der Renaissance haben dieses Problem geschickt umgangen. „Bevor wir negative Zahlen erfunden haben, gab es keine Zahl, die zwei minus sieben war“, fährt Moore fort. „Vielleicht sollten wir eine Reihe erfinden , die Quadratwurzel von minus eins ist. Lassen Sie uns einen Namen geben. I. “
Als sie das Konzept einer imaginären Zahl entwickelt hatten, entdeckten die Mathematiker, dass sie damit wirklich coole Sachen machen konnten. Denken Sie daran, dass die Multiplikation einer positiven mit einer negativen Zahl einer negativen Zahl entspricht, die Multiplikation zweier negativer Zahlen jedoch einer positiven. Aber was passiert, wenn du anfängst, i mit sieben zu multiplizieren und dann wieder mit i ? Weil i mal i negativ eins ist, ist die Antwort negativ sieben. Aber wenn man sieben mal i mal i mal i mal i multipliziert , erhält man plötzlich positiv sieben. "Sie heben sich gegenseitig auf", bemerkt Moore.
Denken Sie jetzt darüber nach. Sie haben eine imaginäre Zahl genommen, sie mehrmals in eine Gleichung eingesetzt und am Ende eine tatsächliche Zahl erhalten, die Sie normalerweise in der realen Welt verwenden.
Imaginäre Zahlen sind Punkte auf einer Ebene
Erst einige hundert Jahre später, im frühen 19. Jahrhundert, entdeckten Mathematiker einen anderen Weg, imaginäre Zahlen zu verstehen, indem sie sie sich als Punkte auf einer Ebene vorstellten, erklärt Mark Levi . Er ist Professor und Leiter der Fakultät für Mathematik an der Penn State University und Autor des 2012 erschienenen Buches "Why Cats Land on Their Feet: And 76 Other Physical Paradoxes and Puzzles".
Wenn wir uns Zahlen als Punkte auf einer Linie vorstellen und dann eine zweite Dimension hinzufügen, "sind die Punkte auf dieser Ebene die imaginären Zahlen", sagt er.
Stellen Sie sich einen Zahlenstrahl vor. Wenn Sie an eine negative Zahl denken, ist sie 180 Grad von den positiven Zahlen auf der Linie entfernt. "Wenn Sie zwei negative Zahlen multiplizieren, addieren Sie ihre Winkel, 180 Grad plus 180 Grad, und Sie erhalten 360 Grad. Deshalb ist es positiv", erklärt Levi.
Aber Sie können die Quadratwurzel von negativ eins nirgendwo auf der X-Achse setzen. Es funktioniert einfach nicht. Wenn Sie jedoch eine Y-Achse erstellen, die senkrecht zu X steht, haben Sie jetzt einen Platz, um sie zu platzieren.
Und während imaginäre Zahlen wie nur ein paar mathematischen Effekthascherei scheinen, sind sie tatsächlich sehr nützlich für bestimmte wichtige Berechnungen in der modernen technologischen Welt, wie die Berechnung der Luftströmung über einen Flugzeugflügel oder den Abfluss in Energie herauszufinden aus Widerstand kombiniert mit Schwingung in einem elektrischen System. Und der fiktive Robert Langdon zog uns nicht die Beine, als er erwähnte, dass sie auch in der Kryptographie verwendet werden.
Komplexe Zahlen mit imaginären Komponenten sind auch in der theoretischen Physik nützlich, erklärt Rolando Somma , ein Physiker, der am Los Alamos National Laboratory mit Quantencomputeralgorithmen arbeitet.
„Aufgrund ihrer Beziehung zu trigonometrischen Funktionen sind sie nützlich, um beispielsweise periodische Funktionen zu beschreiben“, sagt Somma per E-Mail. "Diese entstehen als Lösungen der Wellengleichungen, daher verwenden wir komplexe Zahlen, um verschiedene Wellen, wie eine elektromagnetische Welle, zu beschreiben. Daher ist die komplexe Berechnung in der Physik wie in der Mathematik ein äußerst nützliches Werkzeug, um Berechnungen zu vereinfachen."
Komplexe Zahlen spielen auch in der Quantenmechanik eine Rolle, einer Theorie, die das Verhalten der Natur auf der Skala von Atomen und subatomaren Teilchen beschreibt.
"In der Quantenmechanik taucht 'i' explizit in der Schrödinger-Gleichung auf ", erklärt Somma. "Komplexe Zahlen scheinen daher eine grundlegendere Rolle in der Quantenmechanik zu spielen, anstatt nur als nützliches Rechenwerkzeug zu dienen."
„Der Zustand eines Quantensystems wird durch seine Wellenfunktion beschrieben“, fährt er fort. „Als Lösung der Schrödinger-Gleichung ist diese Wellenfunktion eine Überlagerung bestimmter Zustände, und die in der Überlagerung auftretenden Zahlen sind komplex. Interferenzphänomene in der Quantenphysik zum Beispiel lassen sich leicht mit komplexen Zahlen beschreiben.“
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Imaginäre Zahlen werden auch in Thomas Pynchons Roman „ Gegen den Tag “ von 2012 erwähnt .
