Co właściwie oznacza / zawiera ten zestaw? [duplikować]

Question

Mam problem ze zrozumieniem następującego zestawu:

$$\mathbb{Z}[\sqrt{2}] := \{ a + \sqrt{2}b : a,b \in \mathbb{Z}\}$$Jakie elementy faktycznie zawiera? myślałem$\mathbb{Z}$ zawiera tylko liczby całkowite, więc jaki jest pierwiastek $2$ za $\mathbb{Z}$ oznaczać?

Dziękuję Ci.

Answer 1

Masz rację: $\mathbb{Z}$zawiera tylko liczby całkowite. Zestaw wyświetlany tutaj jest jednak podzbiorem$\mathbb{R}$ i dlatego może zawierać $\sqrt{2}$.

Notacja mówi, że zawiera wszystkie elementy formularza $a+\sqrt{2}b$, gdzie $a$ i $b$są liczbami całkowitymi. Podam kilka przykładów:

$a=b=1$: Następnie $a+\sqrt{2}b = 1+\sqrt{2}$.

$a=b=0$: Następnie $a+\sqrt{2}b = 0$.

$a=3, b=-2$: Następnie $a+\sqrt{2}b = 3-2\sqrt{2}$.

$b = 0$: Następnie $a+\sqrt{2}b = a$iz tego powodu w twoim zestawie jest dowolna liczba całkowita. Ale jak widzieliście, także osoby niecałkowate lubią$1+\sqrt{2}$ może być częścią tego zestawu.

Mam nadzieję, że pomoże to trochę wyjaśnić.