Czy każdy jest sekwencyjny $\sigma(E',E)$- ciągły funkcjonał liniowy w podwójnej przestrzeni Banacha $E'$ koniecznie ocena punktowa?
$\newcommand{\bf}[1]{\mathbb #1}\newcommand{\sc}[1]{\mathscr #1}$Rozdwojenie dwóch przestrzeni wektorowej$E$ i $F$ nad $\bf K$ ($= {\bf R}$ z ${\bf C}$) jest z definicji postacią dwuliniową $$ \langle \cdot, \cdot\rangle :E\times F\to \bf K, $$ takie, że jeśli $\langle x, y\rangle =0$ dla każdego $x$ w $E$, następnie $y=0$. I wzajemnie.
Biorąc pod uwagę dualność, jak powyżej, definiuje się słabą topologię na$F$, zwykle oznaczane $\sigma (F,E)$, za najbardziej zgrubną topologię, według której funkcjonały liniowe $$ y\in F\mapsto \langle x, y\rangle \in \bf K $$ są ciągłe dla każdego $x$ w $E$.
To klasyczny fakt, że każdy $\sigma (F,E)$-ciągły funkcjonał liniowy $\varphi :F\to \bf K$, może być reprezentowany przez wektor w formacie$E$ w tym sensie, że istnieje (z konieczności wyjątkowa) $x$ w $E$ takie że $$ \phi(y) = \langle x, y\rangle ,\quad\forall y\in E. $$
Można by zatem zapytać:
Pytanie . Czy powyższe jest nadal aktualne, jeśli ciągłość zostanie zastąpiona ciągłością sekwencyjną . Innymi słowy, musi każdy sekwencyjnie$\sigma (F, E)$-ciągły liniowy funkcjonał włączony $F$ być reprezentowane przez wektor w $E$.
Zanim czytelnik przejdzie do zadania udowodnienia lub obalenia tego, powiem, że niestety odpowiedź jest przecząca, a kontrprzykład przedstawiony poniżej.
Więc pozwól mi się trochę wyspecjalizować, ograniczając się do sytuacji, w której $E$ jest przestrzenią Banacha i $F$ jest jego dualnością topologiczną, z dualnością kanoniczną $$ \langle x, \varphi \rangle = \varphi (x), \quad \forall x\in E, \quad \forall \varphi \in E'. $$
Być precyzyjnym:
Pytanie . Pozwolić$E$ bądź przestrzenią Banacha i niech $\varphi $ być funkcjonałem liniowym na $E'$ czyli sekwencyjnie $\sigma (E',E)$-ciągły. Jest$\varphi $ koniecznie reprezentowane przez wektor w $E$?
Jest to oczywiście prawda, jeśli $E$ jest refleksyjny i myślę, że mogę to również udowodnić $E=c_0$, jak również dla $E=\ell ^1$.
PRZYKŁAD LICZNIKA
Pozwolić $E=\sc F(H)$ być zbiorem wszystkich operatorów rang skończonych w przestrzeni Hilberta, a $F=\sc B(H)$, z dwoistością definiowaną za pomocą śladu, a mianowicie $$ \langle S, T\rangle = \text{tr}(ST), \quad\forall S\in \sc F(H), \quad\forall T\in \sc B(H). $$
W tym przypadku $\sigma \big (\sc B(H),\sc F(H)\big )$ okazuje się być słabą topologią operatora (WOT), która pokrywa się ze słabą topologią operatora sigma ($\sigma $-WOT) na ograniczonych podzbiorach $\sc B(H)$.
Ponieważ sekwencje zbieżne WOT są ograniczone przez Banacha-Steinhausa, mamy, że sekwencje zbieżne WOT są takie same jak $\sigma $-WOT zbieżne. Wynika z tego, że każdy$\sigma $-WOT-ciągła funkcjonalność liniowa włączona $\sc B(H)$jest również ciągły WOT. Krótko mówiąc, dla każdego operatora klasy śledzenia$S$ na $H$ nieskończonej rangi, funkcjonał liniowy $$ T\in \sc B(H) \mapsto \text{tr}(ST)\in {\bf C} $$ jest sekwencyjnie ciągły WOT, ale nie jest reprezentowany przez operator w $\sc F(H)$.
Odpowiedzi
Mikael de la Salle zwraca uwagę, że to prawda, kiedy $E$można oddzielić, jak pokazano w Wniosku V.12.8 Conwaya, Kurs analizy funkcjonalnej, 2e .
Dla nierozdzielnego kontrprzykładu rozważ niepoliczalną przestrzeń porządkową $[0, \omega_1]$, czyli kompaktowy Hausdorff i $E = C([0, \omega_1])$. Zgodnie z twierdzeniem o reprezentacji Riesza,$E'$ jest przestrzenią oznaczonych miar Radona $\mu$ na $[0, \omega_1]$z jej całkowitą normą zmienności. Pozwolić$\varphi(\mu) = \mu(\{\omega_1\})$. Nie jest to wyraźnie reprezentowane przez żaden wektor w$E$ od funkcji $1_{\{\omega_1\}}$ nie jest ciągła, ale twierdzę $\varphi$ jest sekwencyjne $\sigma(E', E)$ ciągły.
Pozwolić $\mu_n$ być sekwencją zbiegającą się do 0 cali $\sigma(E', E)$ i napraw $\epsilon > 0$. Od każdego$\mu_n$ jest radonem, podobnie jak jego miara całkowitej zmienności $|\mu_n|$iw ten sposób możemy przybliżyć $\{\omega_1\}$ w $|\mu_n|$- pomiar z zewnątrz przez otwarte zestawy. Więc istnieje$\alpha_n < \omega_1$ takie że $|\mu_n|((\alpha_n, \omega_1)) < \epsilon$. Pozwolić$\alpha = \sup_n \alpha_n < \omega_1$; następnie$|\mu_n((\alpha, \omega_1))| \le |\mu_n|((\alpha, \omega_1)) < \epsilon$ dla każdego $n$.
Definiować $f : [0, \omega_1] \to \mathbb{R}$ przez $$f(x) = \begin{cases} 0, & x \le \alpha \\ 1, & x > \alpha \end{cases}$$ i zanotuj to $f$jest ciągła. Teraz$$\varphi(\mu_n) = \mu_n(\{\omega_1\}) = \mu_n((\alpha, \omega_1]) - \mu_n((\alpha, \omega_1)) = \int f\,d\mu_n - \mu_n((\alpha, \omega_1)).$$
Ale z założenia $\int f\,d\mu_n \to 0$, i $|\mu_n((\alpha, \omega_1))| < \epsilon$, więc podsumowujemy $\varphi(\mu_n) \to 0$.