Czy można rozwiązać to równanie za pomocą funkcji Lamberta W?

Question

Podczas pracy nad szkolnym projektem natknąłem się na równanie, które należy rozwiązać. Próbowałem użyć Lambert$W$funkcja, aby rozwiązać następujące równanie, ale nie udało mi się. Czy jest to w ogóle możliwe do rozwiązania$x$ bez metod numerycznych?

$$ ax+(bx-c)e^{kx}=d $$

Answer 1

Ogólnie rzecz biorąc, nie wydaje się możliwe rozwiązanie tego problemu za pomocą Lamberta W. Byłoby to możliwe, gdyby $a$ lub $b$ było $0$.

Możesz wypróbować rozwiązanie szeregowe, jeśli jeden z parametrów można uznać za mały. Tak więc seria w potęgach$k$ jest

$$ x = {\frac {c+d}{a+b}}+{\frac { \left( c+d \right) \left( ac-db \right) }{ \left( a+b \right) ^{3}}}k+{\frac { \left( c+d \right) \left( 3\,a c+ad-bc-3\,db \right) \left( ac-db \right) }{2\, \left( a+b \right) ^ {5}}}{k}^{2}+\ldots $$

Answer 2

Z formalnego punktu widzenia możesz to zrobić.

Przepisz równanie jako $$e^{-kx}=-\frac ba \,\,\frac{x-\frac{b}{c}} {x-\frac{d}{a} }$$który ma rozwiązanie w postaci uogólnionej funkcji Lamberta .

Wystarczy spojrzeć na równanie $(4)$ w powiązanym artykule.

Jest to przyjemne, ale niezbyt przydatne z praktycznego punktu widzenia.

Ponieważ będziesz potrzebować metody numerycznej, musisz oszacować, aby znaleźć zero (a) funkcji

$$f(x)=ax+(bx-c)e^{kx}-d$$. Pierwsza pochodna bytu$$f'(x)=a+e^{k x} (b k x+b-c k)$$ anuluje o $$x_*=\frac{W\left(t\right)}{k}+\frac{c}{b}-\frac{1}{k}\qquad \text{where} \qquad t=-\frac{a }{b}e^{1-\frac{c k}{b}}$$ Gdyby $x_*$istnieje, wykonaj ekspansję Taylora wokół tego punktu, aby otrzymać oszacowanie $$x_0=x_* \pm \sqrt{-2 \frac {f(x_*)}{f''(x_*)}}$$

Spróbujmy $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$, $k=5$.

To da $$x_*=\frac{1}{10} \left(2 W\left(-\frac{1}{2 e^{13/2}}\right)+13\right)\approx 1.29985$$

Następnie $x_0=1.58434$ podczas gdy dokładne rozwiązanie jest $x=1.50069$.

Ponieważ mamy $x_0$spójrzmy na iteracje metody Newtona; oni będą$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.58434 \\ 1 & 1.52533 \\ 2 & 1.50339 \\ 3 & 1.50072 \\ 4 & 1.50069 \end{array} \right)$$