Czy można sklasyfikować niezamknięte podprzestrzenie przestrzeni Hilberta?

Jan 15 2021

Pozwolić $H$ być przestrzenią Hilberta.

Motywowane moim poprzednim pytaniem o dziko nieciągłe funkcjonały liniowe , które można zinterpretować jako próbę sklasyfikowania gęstych hiperpłaszczyzn w$H$pozwólcie mi teraz przejść od razu do rzeczy:

Pytania .

  1. Czy są jakieś istotne różnice między gęstymi hiperpłaszczyznami w programie $H$?

  2. Gdyby $L$ i $M$ są dwie gęste hiperpłaszczyzny w $H$, czy istnieje jednolite mapowanie operatora $L$ do $M$?

  3. Zakładając, że odpowiedź na (2) jest przecząca, ile orbit jest dla naturalnego działania jednolitej grupy $\mathscr U(H)$ na planie gęstych hiperpłaszczyzn?


Mówiąc o ogólnych (niekoniecznie zamkniętych czy gęstych) podprzestrzeniach $H$, jest kilka rzeczy, które można powiedzieć w tym względzie.

Na przykład nie wszystkie takie przestrzenie można opisać jako zasięg ograniczonego operatora, aw szczególności żadna gęsta hiperpłaszczyzna nie kwalifikuje się. Dzieje się tak, ponieważ jeśli zakres takiego operatora ma skończony współ-wymiar, musi być zamknięty (wynika to łatwo z Twierdzenia o zamkniętym grafie).

Zakres operatora zwartego nie zawiera nieskończenie wymiarowej zamkniętej podprzestrzeni, więc jest to kolejna właściwość, której można by użyć do klasyfikacji podprzestrzeni.

Więcej pytań .

  1. Czy istnieje warunek konieczny i wystarczający, wyrażony w kategoriach topologicznych / analitycznych, charakteryzujący zakres operatora ograniczonego (lub zwartego) wśród wszystkich podprzestrzeni $H$?

  2. Ile jednostkowych klas równoważności niezamkniętych podprzestrzeni $H$są tam? Ile z nich można opisać w kategoriach topologicznych / analitycznych?

Odpowiedzi

1 Black Jan 16 2021 at 21:26

Myślę, że mam prostą odpowiedź na pytanie 4, w kompaktowym przypadku: nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń $E\subseteq H$ jest zakresem operatora zwartego, gdy istnieje zbiór ortogonalny (w przeciwieństwie do ortonormalnego) $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$, takie że $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$ i $$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ Wynika to łatwo z twierdzenia spektralnego dla operatorów zwartych oraz z faktu, że zakres operatora zwartego $T$ pokrywa się z zakresem $|T|$.