Czy założenie może zostać odrzucone, jeśli nie jest częścią drzewa?

Dec 23 2020

Biorąc pod uwagę poniższy wzór, użyj naturalnej dedukcji, aby udowodnić, że jest prawdziwa.

Odpowiedź udzielona przez profesora była następująca:

Chciałbym zrozumieć, w jaki sposób możemy rozładować założenie phi w wsporniku 3 bez faktycznego wyprowadzania go z samego drzewa, jak psi w wsporniku 2?

Odpowiedzi

2 lemontree Dec 23 2020 at 16:33

Czy założenie może zostać odrzucone, jeśli nie jest częścią drzewa?

Tak.

Patrz np. Dirk van Dalen (1997) „Logic and Structure”, str. 34:

Jeśli chodzi o unieważnianie hipotez, zauważamy, że niekoniecznie można anulować wszystkie wystąpienia zdania$\psi$. Jest to wyraźnie uzasadnione, ponieważ wydaje się, że dodanie hipotez nie powoduje, że zdanie jest nie do przyjęcia (zawsze można dodać nieistotne informacje). Należy jednak zachować ostrożność, aby anulować jak najwięcej. Po co przedstawiać więcej hipotez niż to konieczne?
Ponadto można złożyć wniosek$(\to I)$ jeśli nie ma hipotez, które można by anulować, np $\dfrac{\phi}{\psi \to \phi}(\to I)$ jest poprawnym wyprowadzeniem, używając just $(\to I)$.
Podsumowując: [...] wykreślenie niektórych (lub wszystkich) zdarzeń, jeśli w ogóle [...].

Semantycznym uzasadnieniem tego jest monotoniczność (znana również jako osłabienie): mamy to

Jeśli $\Gamma \vDash \phi$, następnie $\Gamma, \psi \vDash \phi$.

Z twierdzenia o dedukcji wynika również, że

Jeśli $\Gamma \vDash \phi$, następnie $\Gamma \vDash \psi \to \phi$.

Jeśli wniosek można wyciągnąć z danego zestawu przesłanek, to nie „ginie” on poprzez dodanie dodatkowej wiedzy, więc zawsze możemy dodać więcej przesłanek lub poprzedników, które w rzeczywistości nie są potrzebne. Ten semantyczny pomysł przenosi się do derywacji.

To samo dotyczy wszystkich innych reguł, które pozwalają na rozładowanie założeń, tj $(\lor E)$, $(\neg I)$ i $(RAA)$.