Dlaczego nie ma pola z jednym elementem? [duplikować]

Dec 06 2020

Zadano to tutaj, ale oznaczono jako udzielone i nie wydaje mi się, aby kiedykolwiek udzielono odpowiedzi, a przynajmniej nie było dla mnie jasne.

Nie rozumiem, dlaczego zestaw składający się tylko z elementu $\{0\}$ wraz ze zwykłym $+$ i $×$ nie spełnia kryteriów, ponieważ $0$ działa jako tożsamość addytywna i multiplikatywna.

To znaczy pozwalać $G = \{0\}$, następnie

  • $∀ g ∈ G, 0+g = g$ i

  • $∀ g ∈ G, 0·g = g$ (Od $0·0 = 0$ )

Podobnie jest zarówno własnym addytywnym, jak i multiplikatywną odwrotnością. Jaki jest problem tylko na poziomie pola, nie chcąc, aby spełniał jakieś dodatkowe właściwości teorii kategorii lub geometrii algebraicznej / arytmetycznej?

Odpowiedzi

2 EeveeTrainer Dec 06 2020 at 09:12

Przyjrzyjmy się więc: $(F,+,\cdot,0,1)$ jest polem, jeśli

  • $(F,+,0)$ jest grupą abelową
  • $(F \setminus \{0\}, \cdot, 1)$ jest grupą abelową

Co się zdarzy jeśli $0 = 1$ i $F$czy singleton zawiera ten element? Wtedy ta ostatnia cecha nie jest spełniona$F \setminus \{ 0 \} = \varnothing$jednak wszystkie grupy są z założenia niepuste. (Mianowicie aksjomaty grupy implikują istnienie w niej elementu, elementu tożsamości, więc grupa jest zawsze niepusta.)

6 Marktmeister Dec 06 2020 at 09:10

Pozwolić $K := \{0\}$. Następnie$K \setminus \{0\}$ nie może być multiplikatywną grupą, ponieważ nie ma w niej elementu tożsamości.