$f$ jest ciągły iff $G(f)$ to zamknięty zbiór w przestrzeniach metrycznych [duplikat]
Wykres $f$ jest $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$
$X$ i $Y$ to przestrzenie metryczne. $Y$ jest kompaktowy.
$f$ jest ciągły iff $G(f)$ jest zbiorem zamkniętym.
Mam tutaj najbliższą odpowiedź , ale najpierw wypróbowałem ją sam i utknąłem w pewnym momencie i potrzebuję pomocy w tej konkretnej sytuacji, której nie dostałem nigdzie indziej /
$\Rightarrow$ część: Niech $(z_n)=(x_n,f(x_n))\in G_f$ być zbieżną sekwencją $G(f)$. Jeśli$(x,y)$jest jego granicą. Musimy to pokazać$y=f(x)$ innymi słowy $(x,y)\in G_f$.
$x_n \to x$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$[Przez ciągłość $f$.] $\Rightarrow f(x)=y$przez wyjątkowość limitu. W związku z tym$G_f$ zamknięte.
$\Leftarrow$ część: Niech $x\in X$ i $(x_n)$ zbieżna sekwencja z limitem $x$. Musisz to udowodnić$(f(x_n))$ jest zbieżny w $Y$ z limitem $f(x)$. Użyłem sekwencji$z_n=(x_n,f(x_n))$ i $G_f$ jest zamknięty w kompaktowej przestrzeni $Y$ i stąd $G_f$jest kompaktowy. Następnie jest podciąg$(x_{n_k},f(x_{n_k})) \to (x,y)\in G_f$. Wtedy będziemy mieć$y=f(x)$ ale jak mam to udowodnić $f(x_n) \to f(x)$? Prawdą jest, że każdy podciąg$f(x_n)$ ma zbieżny podciąg $f(x)$.
Odpowiedzi
Z komentarza otrzymałem odpowiedź, która pochodzi z tego lematu:
Lemat Let$Y$ być kompaktową przestrzenią metryczną i $(y_n)$ sekwencja, do której należą terminy $Y$. Jeśli każdy zbieżny podciąg$(y_n)$zbiega się do tego samego limitu$\ell\in Y$, następnie $(y_n)$ zbiega się do $\ell$.
Dowód Załóżmy, że jest inaczej. Wtedy istnieje$\epsilon>0$, takie, że:
$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$
To pozwala nam skonstruować podciąg $(y_{n_k})$ takie, że:
$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$
Teraz wyodrębnij z $(y_{n_k})$ zbieżny podciąg: jego granica $\ell$ z hipotezy i stąd otrzymujemy $0=d(\ell,\ell)\ge\epsilon$ ...
Sprzeczność!
Teraz ktoś może zamknąć tę odpowiedź, ale mogę ją zachować w swoim rejestrze i czy ktoś będzie postępował w ten sposób. Otrzymają z tego pomoc. Zadałem to pytanie, ponieważ sprawdzałem jeden z oczywistych sposobów, jaki może przyjść nam do głowy. Wielkie dzięki!