Integracja $ \cos x.\cos 2x…\cos nx$

Dec 31 2020

Chciałem się zintegrować $\int \cos x\cos 2x\cdots \cos nx \, dx$.
To, co wiem, to to$ \cos x\cos 2x\cdots \cos nx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\sum_\pm \cos((n\pm(n-1)\pm\cdots\pm2\pm1)x)$ gdzie suma się kończy $2^{n-1}$ możliwy $\pm$.
Ale oczywiście jest to trudne do zintegrowania.
Od tego , poznałem o wzorze Wernera co moim zdaniem dość mniej skomplikowane, aby rozwiązać powyższy problem. Ale nie wiem, jak sformułować tę formułę jako arbitralną$n$ dla danego problemu.

Dzięki za pomoc z góry.

Odpowiedzi

1 HenryLee Dec 31 2020 at 05:56

Twoje pytanie brzmi: $$I_n=\int\prod_{k=1}^n\cos(kx)dx$$ moglibyśmy spróbować wykorzystać fakt, że: $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{e^{-ikx}}{2}\left(e^{2ikx}+1\right)$$ a następnie powiedz: $$\prod_{k=1}^n \cos(kx)=\left(\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}\right)\left(\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1\right)$$ ta pierwsza część jest dość łatwa do zrobienia: $$\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}=2^{-n}\exp\left(-ix\sum_{k=1}^nk\right)=2^{-n}e^{-\frac{in(n+1)}{2}x}$$ teraz najtrudniejsza część oblicza: $$\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1$$ a potem oczywiście całkowanie bez względu na wynik