Jakie jest znaczenie tego równoległego homomorfizmu dla hiperkohomologii grupowej?

Jan 11 2021

$\require{AMScd}$ Pozwolić $\Gamma=\{1,\gamma\}$ być grupą porządku 2. W moim problemie z kohomologii Galois rzeczywistych grup redukcyjnych doszedłem do przemiennego diagramu $\Gamma$-moduły (grupy abelowe z $\Gamma$-action) \ begin {equation *}% \ label {e: cd} \ begin {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ end {CD } \ end {equation *}, w którym wiersze są dokładne, ale nie kolumny (i$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$). Górne i dolne rzędy diagramu są podzielone kanonicznie:$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ a te sploty są kompatybilne: $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ dla $q_3\in Q_3$. I rozważyć Tate grupy hypercohomology$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ gdzie oba krótkie kompleksy są podane w stopniach $(-1,0)$.

Poniżej konstruuję „ręcznie” kanoniczny homomorfizm równoległy $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$

Pytanie. Jak mogę uzyskać ten wspólny homomorfizm z pewnego rodzaju ogólnej teorii?

Uwaga. Dla grupy$\Gamma$rzędu 2 (a także dla dowolnej grupy cyklicznej$\Gamma$) kohomologia i hiperkohomologia Tate'a są okresowe z okresem 2. Dlatego nasze $\delta$ to mapa $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ gdzie oba kompleksy są w stopniach $(-2,-1,0)$.

Budowa. Zaczynamy od$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$. Tutaj$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$czyli \ begin {equation} q_3 \ in Q_3, \ quad x_3 \ in X_3, \ quad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3). \ Tag {$**$} \ end {equation} Podnosimy kanonicznie $ q_3$ do $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ i podnosimy $ x_3$dla niektórych $ x_2\in X _2$. Piszemy$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ gdzie $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ i $ p_1\in P_1$. Ustawiamy$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ Ponieważ przez $(*)$ mamy $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ widzimy to $ x_1\in X _1$. Obliczamy:$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ przez $(**)$. Ponadto,\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} przez $(*)$ i $(**)$. A zatem$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ Widzimy to $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$. Ustawiamy$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ Proste sprawdzenie pokazuje, że mapa $\delta$ jest dobrze zdefiniowanym homomorfizmem.

Odpowiedzi

3 მამუკაჯიბლაძე Jan 12 2021 at 00:27

Uważam, że najłatwiejszym sposobem radzenia sobie z tym jest formalizm triangulowanych kategorii. Możesz to zrobić na różne sposoby: albo pracować z nieograniczoną kategorią pochodną, ​​albo (prawdopodobnie łatwiej) zastąpić każdy moduł$M$ z $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ gdzie $\mathcal R$ to pełna rozdzielczość dla $\Gamma$, czyli standardowy nieograniczony kompleks 2-okresowy $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$z $\Gamma$-moduły.

Niech więc $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ być dokładnym trójkątem w dowolnej trójkątnej kategorii i niech $Q_3\to X_2\to P_1$być dowolnymi morfizmami z zerowym kompozytem. Pozwolić$P$ być włóknem $X_1\to P_1$ i pozwól $Q$ być współautorem $Q_3\to X_3$. Naszym celem jest zbudowanie z tego wszystkiego mapy kanonicznej$Q\to\Sigma P$. Okazuje się, że istnieje taka mapa, która zresztą jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy$Q_3\to X_2\to P_1$ jest dokładna.

Ponieważ kompozyt $Q_3\to X_2\to P_1$ jest zero, mapa $X_2\to P_1$ czynniki poprzez współtwórcę $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$i mapę $Q_3\to X_2$ czynniki poprzez błonnik $P_0\to X_2$ z $X_2\to P_1$. Tak więc w sumie$X_1\to P_1$ czynników do kompozytu $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$, podczas $Q_3\to X_3$ czynników do kompozytu $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$.

Najpierw zauważ, że w tych okolicznościach współtwórca $Q_3\to P_0$ jest izomorficzny z włóknem $Q_0\to P_1$; oznaczając to przez$H$, kompozyt $P_0\to H\to Q_0$ jest złożeniem $P_0\to X_2\to Q_0$.

Otrzymujemy osiem wystąpień aksjomatu ośmiościanu, który mówi nam, że dla różnych kompozytów $f\circ g$ istnieją dokładne trójkąty $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ i $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$. Ściśle mówiąc, nie wszystkie z nich są potrzebne, ale dla uzupełnienia pozwolę sobie je wszystkie wymienić.

Komponowalna para podaje dokładny trójkąt
$Q_3\to P_0\to X_2$ $H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$
$Q_3\to X_2\to X_3$ $X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$
$Q_3\to P_0\to X_3$ $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$P_0\to X_2\to X_3$ $P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$
$X_1\to X_2\to Q_0$ $Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$
$X_1\to X_2\to P_1$ $P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$
$X_1\to Q_0\to P_1$ $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$X_2\to Q_0\to P_1$ $Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$

Ujmując to wszystko na jednym diagramie - poniżej linie z trzema obiektami przedstawiają dokładne trójkąty; wszystko dojeżdża do pracy.