niskowymiarowe rozgałęźniki poprzez klejenie krawędzi kuli
Przypomnij sobie, że jednym ze sposobów narysowania zamkniętych 2-kolektorów jest wzięcie dysku $D^2$, weź komórkową dekompozycję $\partial D^2$, sparuj wierzchołki w tym rozkładzie komórkowym, aby parowanie zachowało krawędzie, a następnie weź $D$ razem z tym ilorazem granicy.
Możemy to zrobić również w innych wymiarach, na przykład w wymiarze 3, każdy zamknięty trójrozdzielacz można uzyskać w podobny sposób, gdzie bierzemy $B^3$, weź komórkową dekompozycję $\partial B^3$, sparuj wierzchołki tego rozkładu komórkowego, aby parowanie zachowało krawędzie i ściany, a następnie spójrz na iloraz $B^3$ przez to parowanie.
Threlfall i Seifert zrobili to dla sfery homologii Poincarégo (patrz na przykład tutaj - która zawiera również inny taki opis ze względu na Kreines). W rzeczywistości przyjmują celulację$\partial B^3$być dwunastościanem. Czy istnieje pełna (prawdopodobnie raczej krótka) lista wszystkich 3-rozmaitości uzyskanych w taki sposób, że komórka jest platońską bryłą?$T^3$, $\mathbb{R}P^3$i przestrzeń Seiferta-Webera to inne przykłady, które przychodzą na myśl. Sądzę, że sfera homologii Poincarégo jest może jedyną sferą homologii na tej liście. Bardziej ogólnie, chciałbym przejrzeć listę 3-rozmaitości, które występują w ten sposób przy użyciu prostych celulowań.
Można to również zrobić w podobny sposób w wymiarze 4, aby uzyskać wszystkie gładkie, zamknięte 4-kolektory. Czy są jakieś ładne zdjęcia / przykłady, jak to się gdzieś odbywa? Bardzo chciałbym zobaczyć takie zdjęcia$S^2 \times S^2, T^4, \mathbb{C}P^2,...$
Odpowiedzi
Te zamknięte, orientowalne 3-rozmaitości otrzymane przez sklejenie powierzchni brył platońskich zostały sklasyfikowane przez Everitt .
Dotyczy to regularnych wielościanów o równych kątach dwuściennych, a klejenie odbywa się geometrycznie. Jednak możliwe jest również wykonanie klejenia topologicznie i na ten problem mam tylko częściową odpowiedź. Istnieją 3 zamknięte, orientowalne, 3-rozgałęzienia otrzymane przez sklejenie ścian czworościanu. Oni są$S^3$, $L(4,1)$, i $L(5,2)$. Wyraźne klejenie można zobaczyć na rysunku 2 w tym artykule Jaco i Rubinsteina .
Istnieje 17 zamkniętych, orientowalnych rozgałęzień 3 uzyskanych przez sklejenie powierzchni ośmiościanu, z których 13 jest pierwotnych. Są one wymienione w Propozycji 4.2 tego artykułu autorstwa Hearda, Pervovej i Petronio .
Przypuszczalnie zostały wyliczone zamknięte, orientowalne, trójrozmaitościowe otrzymane z sześcianu, ale nie znam żadnego odniesienia. Zawierają$\mathbb{R}P^3$, 3-torus i co najmniej 2 z innych zamkniętych orientowalnych 3-rozgałęzień euklidesowych. Wyobrażam sobie, że istnieje wiele 3-rozmaitości uzyskanych z dwunastościanu i dwudziestościanu, ale wątpię, czy ktokolwiek je wszystkie wyliczył.
Jeśli chodzi o 4-rozmaitości, zostawię to komuś innemu do odpowiedzi, z wyjątkiem uwagi, że nie ma 4-rozmaitości uzyskanych z pojedynczego pentachoronu (4-simplex), ponieważ ma on w swojej granicy 5 czworościanów i to powoduje parzystość kwestia.