Podział iloczynów kartezjańskich postaci $[0,n]\times[0,m]$ ( $n,m\in\mathbf{N}$) „Po przekątnej”

Aug 15 2020

Rozważmy iloczyn kartezjański $[0,2]\times[0,3]$. Elementy tego zestawu to$$\begin{align*} & (0,0) & (1,0) & &(2,0) \\ & (0,1) & (1,1) && (2,1)\\ &(0,2) & (1,2) && (2,2)\\ &(0,3) & (1,3) && (2,3)\end{align*}$$ Następujące zestawy dzielą ten produkt kartezjański „po przekątnej”: $$\{(0,0)\},\{(1,0),(0,1)\},\{(0,2),(1,1),(2,0)\},\{(0,3),(1,2),(2,1)\},\{(1,3),(2,2)\},\{(2,3)\}.$$ Czy istnieje sposób, aby to zrobić w sposób arbitralny $n,m\geq 0$? Początkowo myślałem o następującym sposobie. Dla każdego$k\in[0,m+n]$, pozwolić $$J_k=\{(i,j)\ |\ 0\leq i\leq n\ \land\ 0\leq j\leq m\ \land\ i+j=k\}.$$ Ale te $J_k$zawierają więcej elementów niż potrzebuję. Jakieś sugestie, jak to zmienić?

Odpowiedzi

1 AirMike Aug 15 2020 at 22:31

Sprawdzałem twoją definicję zestawu $J_k$ dla twojego przykładu powyżej i okazało się, że działa dobrze.

Rozważmy na przykład $k=2$. Następnie

$$J_2 = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq 2 \wedge 0 \leq j \leq 3 \wedge i + j = 2\}$$

Więc chcesz, aby te uporządkowane pary znalazły się w prostokącie $[0,2] \times [0,3]$ które są w kolejce $j = -i + 2$. Czy możesz zobaczyć, rozwiązując to równanie (wiedząc o tym$i, j \in \mathbb{N}$) otrzymasz dokładne rozwiązania, które napisałeś w swoim pytaniu.

Ogólnie rzecz biorąc, to właśnie robisz w tych zestawach

$$J_k = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq n \wedge 0 \leq j \leq m \wedge i + j = k \}$$

Tutaj wymieniasz wszystkie pary, które znajdują się w prostokącie $[0,n] \times [0,m]$ iw linii $i + j = k$.

Dlatego kolekcja tych zestawów $J_k$ poda podział tego prostokąta „po przekątnej”.