วิธีใช้ Unit Circle ใน Trig

วงกลมหน่วยเป็นเพียงวงกลมที่มีรัศมีความยาว 1 แต่มักจะมาพร้อมกับระฆังและนกหวีดอื่น ๆ

วงกลมหน่วยสามารถใช้เพื่อกำหนดความสัมพันธ์สามเหลี่ยมมุมฉากที่เรียกว่าไซน์โคไซน์และแทนเจนต์ ความสัมพันธ์เหล่านี้อธิบายว่ามุมและด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กันอย่างไร ตัวอย่างเช่นเรามีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 30 องศาและด้านที่ยาวที่สุดหรือด้านตรงข้ามมุมฉากคือความยาว 7 เราสามารถใช้ความสัมพันธ์สามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเพื่อหาความยาวของด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมอีกสองด้าน .

สาขาคณิตศาสตร์นี้เรียกว่าตรีโกณมิติมีการใช้งานจริงในชีวิตประจำวันเช่นการก่อสร้าง GPS ระบบประปาวิดีโอเกมวิศวกรรมงานช่างไม้และการเดินอากาศ

ในการจดจำวงกลมหน่วยมาตรฐานเราจำเป็นต้องสามารถจำองค์ประกอบหลักสามส่วนได้

เพื่อช่วยเราเราจะนึกถึงการเดินทางไปที่ Unit Pizza Palace ใช้เวลาสักครู่เพื่อจดจำสิ่งต่อไปนี้จนกว่าคุณจะท่องได้โดยไม่ต้องมองหา:

ขั้นตอนที่ 1: 4 พิซซ่าสไลซ์

ลองนึกภาพพิซซ่าหนึ่งชิ้นหั่นเป็นสี่ชิ้น ในวิชาคณิตศาสตร์ที่เราจะเรียกเหล่านี้สี่ส่วนของวงกลมแนวทาง

เราสามารถใช้พิกัด (x, y) เพื่ออธิบายจุดใดก็ได้ตามขอบด้านนอกของวงกลม พิกัด x แสดงระยะทางที่เดินทางไปทางซ้ายหรือขวาจากจุดศูนย์กลาง พิกัด y แสดงถึงระยะทางที่เดินทางขึ้นหรือลง พิกัด x คือโคไซน์ของมุมที่เกิดจากจุดจุดกำเนิดและแกน x พิกัด y คือไซน์ของมุม

ในวงกลมหน่วยเส้นตรงที่เดินทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลมจะไปถึงขอบวงกลมที่พิกัด (1, 0) ถ้าเราเดินขึ้นซ้ายหรือลงแทนเราจะแตะเส้นรอบรูปที่ (0, 1), (-1, 0) หรือ (0, -1) ตามลำดับ

มุมที่สัมพันธ์กันทั้งสี่มุม (เป็นเรเดียนไม่ใช่องศา) ทั้งหมดมีตัวส่วนเป็น 2 (เรเดียนคือมุมที่เกิดขึ้นเมื่อนำรัศมีและล้อมรอบวงกลม A องศาวัดมุมตามระยะทางที่เดินทางวงกลมคือ 360 องศาหรือ 2πเรเดียน)

ตัวเศษเริ่มต้นที่ 0 เริ่มต้นที่พิกัด (1,0) และนับทวนเข็มนาฬิกาด้วย1π กระบวนการนี้จะให้ผลเป็น0π / 2, 1π / 2, 2π / 2 และ3π / 2 ลดความซับซ้อนของเศษส่วนเหล่านี้เพื่อให้ได้ 0, π / 2, πและ3π / 2.quad

ขั้นตอนที่ 2: 3 พายราคา $ 6

เริ่มต้นด้วย "3 พาย" ลองดูที่แกน y มุมเรเดียนทางขวาและซ้ายของแกน y ทั้งหมดมีตัวส่วนเป็น 3 ทุกมุมที่เหลือจะมีตัวเศษที่มีค่าทางคณิตศาสตร์ pi เขียนเป็น written

"3 พายสำหรับ 6" ใช้เพื่อระลึกถึงมุมที่เหลืออีก 12 มุมในวงกลมหน่วยมาตรฐานโดยมีมุมสามมุมในแต่ละจตุรัส แต่ละมุมเหล่านี้เขียนเป็นเศษส่วน

"ราคา $ 6" คือการเตือนเราว่าในแต่ละควอดแรนต์ตัวส่วนที่เหลือคือ 4 และ 6

ส่วนที่ยากที่สุดของขั้นตอนนี้คือการเติมตัวเศษสำหรับเศษส่วนแต่ละส่วน

ในควอดแรนท์ 2 (ไตรมาสบนซ้ายของวงกลม) ให้ใส่ 2 แล้ว 3 ตามด้วย 5 หน้า

มุมแรกของคุณในควอดแรนท์ 2 จะเป็น2π / 3 การบวก 2 ในตัวเศษและ 3 ในตัวส่วนจะได้ 5 ดูมุมตรงในควอดแรนท์ 4 (ควอเตอร์ขวาล่างของวงกลม) วาง 5 ตัวนี้ในตัวเศษหน้าπ ทำซ้ำขั้นตอนนี้กับอีกสองมุมในจตุภาค 2 และ 4

เราจะทำขั้นตอนเดียวกันซ้ำสำหรับจตุภาค 1 (ขวาบน) และ 3 (ซ้ายล่าง) จำไว้ว่า x ก็เหมือนกับ 1x, πก็เหมือนกับ1π ดังนั้นเราจึงเพิ่ม 1 ให้กับตัวส่วนทั้งหมดในควอดแรนท์ 1

ขั้นตอนการแสดงรายการมุมเป็นองศา (แทนที่จะเป็นเรเดียน) มีอธิบายไว้ในตอนท้ายของบทความนี้

ขั้นตอนที่ 3: 2 ตารางสี่เหลี่ยม

"2" ใน "ตาราง 2 ตาราง" คือการเตือนเราว่าทั้ง 12 คู่พิกัดที่เหลือมีตัวส่วนเป็น 2

"กำลังสอง" คือการเตือนเราว่าตัวเศษของทุกพิกัดมีค่ารากที่สองด้วย เราเริ่มต้นด้วยควอดแรนท์ 1 เท่านั้นเพื่อทำให้สิ่งต่างๆง่ายขึ้น (คำแนะนำ: โปรดจำไว้ว่ารากที่สองของ 1 คือ 1 ดังนั้นเศษส่วนเหล่านี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นเหลือเพียง 1/2)

ขั้นตอนที่ 4: 1, 2, 3

"1, 2, 3" แสดงให้เราเห็นการต่อเนื่องของตัวเลขภายใต้รากที่สองแต่ละอัน สำหรับพิกัด x ของควอดแรนท์ 1 เราจะนับ 1 ถึง 3 โดยเริ่มจากพิกัดบนสุดและลงไป

พิกัด y มีตัวเลขเท่ากัน แต่นับ 1 ถึง 3 ในทิศทางตรงกันข้ามจากด้านล่างขึ้นด้านบน

ควอดแรนท์ 2 มีพิกัดเดียวกันกับควอดแรนท์ 1 แต่พิกัด x เป็นค่าลบ

ควอดแรนท์ 3 สลับพิกัด x และ y จากควอดแรนท์ 1 พิกัด x และ y ทั้งหมดเป็นค่าลบเช่นกัน

เช่นเดียวกับควอดแรนท์ 3 ควอดแรนท์ 4 ยังสลับพิกัด x และ y จากควอดแรนท์ 1 แต่เฉพาะพิกัด y เท่านั้นที่เป็นลบ

มุมองศา

คุณอาจต้องการอ้างอิงมุมเป็นองศาแทนเรเดียน โดยเริ่มต้นที่ 0 องศาที่พิกัด (1,0) จากนั้นเราจะเพิ่ม 30, 15, 15 และ 30 ในควอดแรนท์ 1 เราเพิ่ม 30 เป็น 0 เพื่อรับ 30 เพิ่ม 15 เป็น 30 เพื่อรับ 45 เพิ่ม 15 เป็น 45 เพื่อรับ 60 และเพิ่ม 30 เป็น 60 เพื่อรับ 90.

จากนั้นเราทำซ้ำขั้นตอนสำหรับจตุภาคที่เหลือโดยเพิ่ม 30, 15, 15 และ 30 จนกว่าเราจะไปถึงจุดสิ้นสุดของวงกลม ดังนั้นควอดแรนท์ 4 จะมีมุมตั้งแต่ 270 ถึง 330 องศา (ดูรูปที่ 10)

นำไปปฏิบัติ

ก่อนหน้านี้ในบทความเราได้กล่าวถึงวงกลมหน่วยเพื่อหาด้านที่ไม่รู้จักสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 30 องศาและด้านที่ยาวที่สุดหรือด้านตรงข้ามมุมฉากคือความยาว 7 มาลองดูกัน

จดว่า 30 °อยู่ตรงไหนของวงกลมหน่วย ใช้เส้นนั้นและแกน x เพื่อสร้างสามเหลี่ยมดังนี้

ในวงกลมหน่วยเส้นใด ๆ ที่เริ่มต้นที่ศูนย์กลางของวงกลมและสิ้นสุดที่เส้นรอบรูปจะมีความยาวเท่ากับ 1 ด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมนี้จะมีความยาวเท่ากับ 1 ด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ หรือที่เรียกว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" จุดที่ด้านตรงข้ามมุมฉากสัมผัสกับเส้นรอบวงของวงกลมอยู่ที่√3 / 2, 1/2

เราจึงรู้ว่าฐานของสามเหลี่ยม (บนแกน x) มีความยาว√3 / 2 และความสูงของสามเหลี่ยมเท่ากับ 1/2

วิธีคิดอีกวิธีหนึ่งคือฐานมีความยาว√3 / 2 เท่าของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากและความสูงคือ 1/2 เท่าของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

ดังนั้นถ้าแทนด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นความยาว 7 ฐานสามเหลี่ยมของเราจะเป็น 7 x √3 / 2 = 7√3 / 2 ความสูงของสามเหลี่ยมจะมีความยาว 7 x 1/2 = 7/2

ตอนนี้น่าสนใจ

ตรีโกณมิติได้รับการพัฒนาขึ้นในศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสตศักราชเพื่อทำความเข้าใจเกี่ยวกับดาราศาสตร์การศึกษาดวงดาวและระบบสุริยะ ยังคงใช้ในการสำรวจอวกาศโดยองค์การนาซ่าและ บริษัท ขนส่งอวกาศเอกชน