เมื่อคุณได้ยินคำว่า "มีเหตุผล" และ "ไม่มีเหตุผล" อาจทำให้นึกถึงความแตกต่างระหว่างนายสป็อคที่เท่และวิเคราะห์อย่างไม่ลดละ กับ Dr. "Bones" McCoy ที่หัวแข็งและมีอารมณ์แปรปรวนใน "Star Trek" จักรวาลโทรทัศน์และภาพยนตร์ ยกเว้นกรณีที่คุณเป็นนักคณิตศาสตร์คุณอาจจะไม่คิดว่าอัตราส่วนระหว่างจำนวนเต็มกับรากที่สอง สิ่งที่ทำให้ผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ในหมู่พวกเรารู้สึกสับสนเหมือนกับที่เราได้ยินเพลง "Bohemian Rhapsody" ของ Queen ร้องในคลิงออน .
แต่ในขอบเขตของคณิตศาสตร์ ซึ่งบางครั้งคำมีความหมายเฉพาะเจาะจงที่แตกต่างจากการใช้ในชีวิตประจำวันอย่างมาก ความแตกต่างระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับการให้เหตุผลและตรรกะกับการกระตุ้นทางอารมณ์แบบดิบๆ
จำคำว่า 'อัตราส่วน'
"ในการจดจำความแตกต่างระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ ให้คิดคำเดียว: อัตราส่วน" Eric D. Kolaczykอธิบาย เขาเป็นศาสตราจารย์ในภาควิชาคณิตศาสตร์และสถิติที่มหาวิทยาลัยบอสตัน และเป็นผู้อำนวยการสถาบันRafik B. Hariri Institute for Computing and Computational Science & Engineeringของมหาวิทยาลัย
"ถ้าคุณเขียนตัวเลขเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้ (เช่น 1 ส่วน 10, -5 ส่วน 23, 1,543 ส่วน 10 เป็นต้น) เราก็ใส่ไว้ในหมวดหมู่ของจำนวนตรรกยะ" Kolaczyk อธิบายในอีเมล “มิฉะนั้น เราว่ามันไม่มีเหตุผล”
คุณสามารถแสดงจำนวนเต็มหรือเศษส่วน — ส่วนของจำนวนเต็ม — เป็นอัตราส่วน โดยมีจำนวนเต็มเรียกว่าตัวเศษอยู่ด้านบนของจำนวนเต็มอื่นที่เรียกว่าตัวส่วน คุณแบ่งตัวส่วนเป็นตัวเศษ ที่สามารถให้ตัวเลขเช่น 1/4 หรือ 500/10 (หรือที่เรียกว่า 50)
จำนวนอตรรกยะ ตรงกันข้ามกับจำนวนตรรกยะ ค่อนข้างซับซ้อน ตามที่Wolfram MathWorldอธิบาย พวกมันไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ และเมื่อคุณพยายามเขียนพวกมันเป็นตัวเลขที่มีจุดทศนิยมตัวเลขจะดำเนินต่อไปเรื่อยๆ โดยที่ไม่มีการหยุดหรือทำซ้ำรูปแบบ
ดังนั้นตัวเลขประเภทใดที่มีพฤติกรรมบ้าๆบอ ๆ เช่นนี้? โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งที่อธิบายสิ่งที่ซับซ้อน บางทีจำนวนอตรรกยะที่มีชื่อเสียงที่สุดคือpiซึ่งบางครั้งเขียนว่า π ซึ่งเป็นอักษรกรีกสำหรับ p ซึ่งแสดงอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนั้น ตามที่นักคณิตศาสตร์ สตีเวน โบการ์ต อธิบายไว้ในบทความ Scientific American ปี 1999 นี้ว่าอัตราส่วนจะเท่ากับ pi เสมอ โดยไม่คำนึงถึงขนาดของวงกลม ตั้งแต่ความพยายามครั้งแรกในการคำนวณ pi นั้นดำเนินการโดยนักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนเมื่อเกือบ 4,000 ปีที่แล้ว นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อๆ มาต่างเลิกใช้ และได้ตัวเลขทศนิยมที่ยาวขึ้นและยาวขึ้นด้วยรูปแบบที่ไม่ซ้ำ ในปี 2019 นักวิจัยของ Google Hakura Iwao ได้ขยาย pi เป็น 31,415,926,535,897 หลัก ตามรายละเอียด ใน บทความ Cnet นี้
บางครั้งราก ที่สอง — นั่นคือ ตัวประกอบของจำนวนที่เมื่อคูณด้วยตัวมันเอง ทำให้เกิดจำนวนที่คุณเริ่มต้นด้วย — เป็นจำนวนอตรรกยะ เว้นแต่จะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ที่เป็นจำนวนเต็ม เช่น 4, รากที่สอง ของ 16 ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดเจนที่สุดอย่างหนึ่งคือสแควร์รูทของ 2ซึ่งได้ผลเป็น 1.414 บวกกับสตริงของตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันไม่รู้จบ ค่านั้นสอดคล้องกับความยาวของเส้นทแยงมุมภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามที่ชาวกรีกโบราณอธิบายไว้ ใน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็น ครั้ง แรก
ทำไมเราใช้คำว่า 'เหตุผล' และ 'ไม่ลงตัว'?
ทำไมเราถึงเรียกว่ามีเหตุผลและไม่ลงตัว? มันดูมืดมนไปหน่อย Kolaczyk กล่าวว่า "โดยทั่วไปแล้วเราใช้ 'เหตุผล' เพื่อหมายถึงบางสิ่งที่คล้ายกับตามเหตุผลหรือคล้ายคลึงกันมากขึ้น "การใช้งานในวิชาคณิตศาสตร์ดูเหมือนจะหมดไปเร็วเท่าปี 1200 ในแหล่งข้อมูลอังกฤษ (ตามพจนานุกรมภาษาอังกฤษของ Oxford) หากคุณติดตามทั้ง 'เหตุผล' และ 'อัตราส่วน' กลับไปที่รากศัพท์ภาษาละติน คุณจะพบว่าในทั้งสองกรณี รากเป็นเรื่องของ 'การให้เหตุผล' พูดกว้างๆ"
สิ่งที่ชัดเจนกว่าคือจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะมีบทบาทสำคัญในการเจริญก้าวหน้าของอารยธรรม แม้ว่าภาษาอาจย้อนไปถึงช่วงกำเนิดของเผ่าพันธุ์มนุษย์ แต่ตัวเลขก็ตามมาในภายหลัง มาร์ก เซกาเรลลี ผู้สอนคณิตศาสตร์และนักเขียนที่เขียนหนังสือ 10 เล่มในชุด "For Dummies" อธิบาย เขากล่าวว่าผู้รวบรวมนักล่าอาจไม่ต้องการความแม่นยำเชิงตัวเลขมากนัก นอกเหนือจากความสามารถในการประมาณการอย่างคร่าวๆ และเปรียบเทียบปริมาณ
"พวกเขาต้องการแนวคิดเช่น 'เราไม่มีแอปเปิ้ลแล้ว'" Zegarelli กล่าว "พวกเขาไม่จำเป็นต้องรู้ว่า 'เรามีแอปเปิ้ล 152 ลูกพอดี'"
แต่เมื่อมนุษย์เริ่มแกะสลักแปลงที่ดินเพื่อสร้างฟาร์ม สร้างเมือง ผลิตและแลกเปลี่ยนสินค้า โดยเดินทางไกลจากบ้านของพวกเขา พวกเขาต้องการคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้น
Kolaczyk กล่าวว่า "สมมติว่าคุณสร้างบ้านที่มีหลังคาซึ่งส่วนสูงขึ้นจะมีความยาวเท่ากันกับทางวิ่งจากฐานที่จุดสูงสุด "พื้นผิวหลังคายืดจากบนสุดถึงขอบด้านนอกมีความยาวเท่าใด ปัจจัยของรากที่สองของส่วนยก 2 ตัว (รัน) เสมอ และนั่นเป็นจำนวนอตรรกยะเช่นกัน"
ในศตวรรษที่ 21 ที่ก้าวหน้าทางเทคโนโลยี ตัวเลขที่ไม่ลงตัวยังคงมีบทบาทสำคัญต่อไป ตาม คำ กล่าวของCarrie Manore เธอเป็นนักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ใน Information Systems and Modeling Group ที่Los Alamos National Laboratory
"Pi เป็นจำนวนอตรรกยะตัวแรกที่ชัดเจนที่จะพูดถึง" Manore กล่าวผ่านอีเมล "เราต้องการมันเพื่อกำหนดพื้นที่และเส้นรอบวงของวงกลม การคำนวณมุมเป็นสิ่งสำคัญ และมุมมีความสำคัญต่อการนำทาง การสร้าง การสำรวจ วิศวกรรม และอื่นๆ การสื่อสารด้วยความถี่วิทยุขึ้นอยู่กับไซน์และโคไซน์ที่เกี่ยวข้องกับ pi" นอกจากนี้ จำนวนอตรรกยะมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนที่ทำให้การซื้อขายหุ้น การสร้างแบบจำลอง การพยากรณ์ และการวิเคราะห์ทางสถิติในความถี่สูงเป็นไปได้ ซึ่งเป็นกิจกรรมทั้งหมดที่ทำให้สังคมของเราคึกคัก
รายการสามารถดำเนินต่อไป "อันที่จริง ในโลกสมัยใหม่ของเรา เกือบจะสมเหตุสมผลแล้วที่จะถามแทนว่า ตัวเลขอตรรกยะที่ไม่ได้ใช้อยู่ที่ไหน" มโนเร่กล่าว
ตอนนี้น่าสนใจ
ในการคำนวณ "เรามักจะใช้การประมาณของจำนวนอตรรกยะเหล่านี้เพื่อแก้ปัญหา" มานอร์อธิบาย "การประมาณเหล่านี้เป็นเหตุเป็นผลเนื่องจากคอมพิวเตอร์สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำเท่านั้น ในขณะที่แนวคิดของจำนวนอตรรกยะมีอยู่ทุกหนทุกแห่งในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ อาจมีคนโต้แย้งว่าเราไม่เคยใช้จำนวนอตรรกยะที่แท้จริงในทางปฏิบัติเลย"
