Sie haben wahrscheinlich eine intuitive Vorstellung davon, was ein Kreis ist: die Form eines Basketballkorbs, eines Rades oder eines Viertels. Sie können sich sogar von der High School an daran erinnern, dass der Radius eine gerade Linie ist, die vom Mittelpunkt des Kreises beginnt und an seinem Umfang endet.
Ein Einheitskreis ist nur ein Kreis mit einem Radius von einer Länge von 1. Oft kommt er jedoch mit einigen anderen Schnickschnack.
Ein Einheitskreis kann verwendet werden, um rechtwinklige Dreiecksbeziehungen zu definieren, die als Sinus, Cosinus und Tangens bekannt sind. Diese Beziehungen beschreiben, wie Winkel und Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zueinander in Beziehung stehen. Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von 30 Grad und dessen längste Seite oder Hypotenuse eine Länge von 7 hat. Wir können unsere vordefinierten rechtwinkligen Dreiecksbeziehungen verwenden, um die Länge der verbleibenden zwei Seiten des Dreiecks herauszufinden .
Dieser als Trigonometrie bekannte Zweig der Mathematik hat alltägliche praktische Anwendungen wie Konstruktion, GPS, Sanitär, Videospiele, Ingenieurwesen, Tischlerarbeit und Flugnavigation.
Um einen Standardeinheitskreis auswendig zu lernen, müssen wir drei Hauptkomponenten abrufen können:
- Vier Quadranten
- 16 Winkel
- (x, y) Koordinaten für jeden der 16 Winkel, wobei der Radius den Umfang des Kreises berührt
Um uns zu helfen, werden wir uns an einen Ausflug zum Unit Pizza Palace erinnern. Nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um sich Folgendes zu merken, bis Sie es rezitieren können, ohne hinzuschauen:
- 4 Pizzastücke
- 3 Kuchen für 6 $
- 2 quadratische Tische
- 1 , 2, 3
Schritt 1: 4 Pizzastücke
Stellen Sie sich eine ganze Pizza vor, die in vier gleichmäßige Scheiben geschnitten ist. In der Mathematik würden wir diese vier Teile der Kreisquadranten nennen .
Wir können (x, y) -Koordinaten verwenden, um jeden Punkt entlang der Außenkante des Kreises zu beschreiben. Die x-Koordinate repräsentiert die Entfernung, die von der Mitte nach links oder rechts zurückgelegt wurde. Die y-Koordinate repräsentiert die zurückgelegte Strecke. Die x-Koordinate ist der Kosinus des Winkels, der durch den Punkt, den Ursprung und die x-Achse gebildet wird. Die y-Koordinate ist der Sinus des Winkels.
In einem Einheitskreis erreicht eine gerade Linie, die direkt vom Mittelpunkt des Kreises verläuft, die Kante des Kreises an der Koordinate (1, 0). Wenn wir stattdessen nach oben, links oder unten gehen würden, würden wir den Umfang bei (0, 1), (-1, 0) bzw. (0, -1) berühren.
Die vier zugehörigen Winkel (im Bogenmaß, nicht in Grad) haben alle einen Nenner von 2. (Ein Bogenmaß ist der Winkel, der gebildet wird, wenn der Radius genommen und um einen Kreis gewickelt wird. Ein Grad misst Winkel nach zurückgelegter Entfernung. Ein Kreis ist 360 Grad oder 2π Radiant).
Die Zähler beginnen bei 0, beginnend bei der Koordinate (1,0) und zählen gegen den Uhrzeigersinn um 1π hoch. Dieser Prozess ergibt 0π / 2, 1π / 2, 2π / 2 und 3π / 2. Vereinfachen Sie diese Brüche, um 0, π / 2, π und 3π / 2.quad zu erhalten
Schritt 2: 3 Kuchen für 6 $
Beginnen Sie mit "3 Kuchen". Schauen Sie sich die y-Achse an. Die Bogenwinkel direkt rechts und links von der y-Achse haben alle einen Nenner von 3. Jeder verbleibende Winkel hat einen Zähler, der den mathematischen Wert pi enthält, der als π geschrieben ist.
"3 Torten für 6" wird verwendet, um die verbleibenden 12 Winkel in einem Standardeinheitskreis mit drei Winkeln in jedem Quadranten abzurufen. Jeder dieser Winkel wird als Bruch geschrieben.
Das "für $ 6" soll uns daran erinnern, dass in jedem Quadranten die verbleibenden Nenner 4 und dann 6 sind.
Der schwierigste Teil dieses Schritts besteht darin, den Zähler für jeden Bruch zu vervollständigen.
Setzen Sie in Quadrant 2 (oberes linkes Viertel des Kreises) 2, dann 3, dann 5 vor π.
Ihr erster Winkel in Quadrant 2 ist 2π / 3. Addiert man die 2 im Zähler und die 3 im Nenner, ergibt sich 5. Sehen Sie sich den Winkel in Quadrant 4 (unteres rechtes Viertel des Kreises) gerade an. Setzen Sie diese 5 in den Zähler vor π. Wiederholen Sie diesen Vorgang für die beiden anderen Winkel in den Quadranten 2 und 4.
Wir wiederholen den gleichen Vorgang für die Quadranten 1 (oben rechts) und 3 (unten links). Denken Sie daran, genau wie x gleich 1x ist, ist π gleich 1π. Wir addieren also 1 zu allen Nennern in Quadrant 1.
Der Vorgang zum Auflisten von Winkeln in Grad (anstelle von Bogenmaß) wird am Ende dieses Artikels beschrieben.
Schritt 3: 2 quadratische Tische
Die "2" in "2 quadratischen Tabellen" soll uns daran erinnern, dass alle verbleibenden 12 Koordinatenpaare einen Nenner von 2 haben.
"Quadrat" soll uns daran erinnern, dass der Zähler jeder Koordinate eine Quadratwurzel enthält. Wir beginnen nur mit Quadrant 1, um die Dinge zu vereinfachen. (Hinweis: Denken Sie daran, dass die Quadratwurzel von 1 1 ist, sodass diese Brüche auf nur 1/2 vereinfacht werden können.)
Schritt 4: 1, 2, 3
Die "1, 2, 3" zeigt uns die Folge von Zahlen unter jeder Quadratwurzel. Für die x-Koordinaten von Quadrant 1 zählen wir von 1 bis 3, beginnend an der oberen Koordinate und abwärts.
Die y-Koordinaten haben die gleichen Zähler, zählen jedoch von 1 bis 3 in entgegengesetzter Richtung von unten nach oben.
Quadrant 2 hat die gleichen Koordinaten wie Quadrant 1, aber die x-Koordinaten sind negativ.
Quadrant 3 schaltet die x- und y-Koordinaten von Quadrant 1 um. Alle x- und y-Koordinaten sind ebenfalls negativ.
Wie Quadrant 3 schaltet auch Quadrant 4 die x- und y-Koordinaten von Quadrant 1 um. Aber nur die y-Koordinaten sind negativ.
Winkel in Grad
Möglicherweise möchten Sie Winkel nicht im Bogenmaß, sondern in Grad referenzieren. Beginnen Sie dazu bei 0 Grad an der Koordinate (1,0). Von dort addieren wir 30, 15, 15 und dann 30. In Quadrant 1 addieren wir 30 zu 0, um 30 zu erhalten, addieren 15 zu 30, um 45 zu erhalten, addieren 15 zu 45, um 60 zu erhalten, und addieren 30 zu 60, um zu erhalten 90.
Wir wiederholen dann den Vorgang für die verbleibenden Quadranten und addieren 30, 15, 15 und 30, bis wir das Ende des Kreises erreichen. Quadrant 4 hat also Winkel zwischen 270 und 330 Grad (siehe Abbildung 10).
In die Praxis umsetzen
Zu Beginn des Artikels haben wir erwähnt, dass ein Einheitskreis verwendet werden kann, um zwei unbekannte Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit einem Winkel von 30 Grad zu finden, deren längste Seite oder Hypotenuse eine Länge von 7 hat. Probieren wir es aus.
Beachten Sie, wo sich 30 ° auf dem Einheitskreis befindet. Verwenden Sie diese Linie und die x-Achse, um ein Dreieck wie folgt zu erstellen.
In einem Einheitskreis hat jede Linie, die in der Mitte des Kreises beginnt und am Umfang endet, eine Länge von 1. Die längste Seite dieses Dreiecks hat also eine Länge von 1. Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist auch als "Hypotenuse" bekannt. Der Punkt, an dem die Hypotenuse den Umfang des Kreises berührt, liegt bei √3 / 2, 1/2.
Wir wissen also, dass die Basis des Dreiecks (auf der x-Achse) eine Länge von √3 / 2 hat und die Höhe des Dreiecks 1/2 beträgt.
Eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht darin, dass die Basis das √3 / 2-fache der Länge der Hypotenuse und die Höhe das 1/2-fache der Länge der Hypotenuse beträgt.
Wenn also stattdessen die Hypotenuse eine Länge von 7 hat, ist unsere Dreiecksbasis 7 x √3 / 2 = 7√3 / 2. Die Dreieckshöhe hat eine Länge von 7 x 1/2 = 7/2.
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Es wird angenommen, dass die Trigonometrie ursprünglich im 1. Jahrhundert v. Chr. Entwickelt wurde, um die Astronomie, das Studium der Sterne und das Sonnensystem zu verstehen. Es wird immer noch in der Weltraumforschung von NASA-Unternehmen und privaten Raumfahrtunternehmen eingesetzt.
