Całkowanie momentu obrotowego dla okrągłej pętli prądowej w polu magnetycznym [zamknięte]

Question

Próbuję wyprowadzić wzór na moment obrotowy na kołowej pętli prądowej wewnątrz pola magnetycznego. Wiem, że formuła to:

$\tau = IAB\sin{\theta}$

Gdzie ja jest prądem, B to pole magnetyczne, a A to obszar.

Moja dotychczasowa próba:

$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$

Teraz, jeśli wzór na moment obrotowy to: $\tau=bF\sin{\theta}$, i $b = r\sin{\alpha}$, następnie

$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$

Ostatecznie, jeśli wezmę całkę z tego ostatniego równania, nie mogę dokładnie zrozumieć, jak całkować $\sin{\alpha}^2\,ds$.

Wydaje mi się, że moje podstawowe nieporozumienie leży tutaj: mogę powiedzieć, jaka jest całka z $d\vec{s}\times \vec{B}$będzie, ponieważ znam średnicę koła. Myślę jednak, że nie ma sposobu, aby to wyrazić$\sin{\alpha}$ z szacunkiem do $ds$.

Czy mylę się? Dziękuję Ci

Answer 1

Nie używałeś notacji wektorowych, więc wydaje się to dość okropne. Również użyłeś$M$ dla momentu obrotowego (powinno być $\tau$) zamiast momentu magnetycznego (które są ogólnie akceptowanymi symbolami).

Dowód:

W środku znajduje się okrągła pętla $x-y$ samolot z raduis $r$ i wyśrodkuj na początku $O$. Przenosi stały prąd w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Występuje jednolite pole magnetyczne$\vec B$ skierowane wzdłuż pozytywu $x$-oś.

Rozważ element $d\vec s$ na ringu pod kątem $\theta$ pod kątem $d\theta$na początku. Moment obrotowy na tym elemencie podaje

$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$

---

Uwaga: pominąłem część obliczeniową. Możesz także wziąć$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$, Wziąłem tylko $x$-komponent dla prostoty. Wynik będzie taki sam. To samo z kształtem przewodnika, nie ma znaczenia, czy jest kwadratowy czy okrągły.

Answer 2

Rozwiązałem to, zdając sobie sprawę, że ds faktycznie jest $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ według wzoru cięciwy długości.

Krótko mówiąc, faktycznie pisząc $d\vec{s}\times \vec{B}$ pod względem $\alpha$.