Dziecko rzuca 7 uczciwymi monetami. Znajdź prawdopodobieństwo, że wystąpią co najmniej dwie orły, biorąc pod uwagę, że występują co najmniej trzy reszki.

Aug 16 2020

Pytanie: Dziecko rzuca 7 uczciwymi monetami. Tak więc istnieją względnie pierwsze dodatnie liczby całkowite m i n$\frac{m}{n}$jest prawdopodobieństwem wystąpienia co najmniej dwóch orłów, przy założeniu, że występują co najmniej trzy reszki. Znajdź (m + n).

Z języka pytania wywnioskowałem, że chodzi o warunkowe prawdopodobieństwo zdarzeń:

Wystąpienie co najmniej 2 orłów = zdarzenie A

  1. Wystąpienie co najmniej 3 ogonów = zdarzenie B tj. $$P(E)=\frac{P(A and B)}{P(B)}$$

Moje podejście:

W celu znalezienia $P(B)$, Znalazłem prawdopodobieństwo, że nie występują ogony ($\frac{1}{2^{7}}$), występuje tylko jeden ogon ($\frac{7}{2^{7}}$) i występuje tylko dwa ogony ($\frac{\binom{7}{2}}{2^{7}}$), dodając je i odejmując od 1 otrzymałem,$$P(B)=1-\frac{29}{2^{7}}$$ Teraz, aby znaleźć $P(AandB)$ Wybrałem 5 dowolnych rzutów z 7 dostępnych w $\binom{7}{5}$ sposoby i układanie 3 ogonów i 2 głów $\frac{5!}{2!3!}$ sposoby, teraz nie ma znaczenia, co wydarzy się w pozostałych dwóch miejscach (ponieważ warunek początkowy został spełniony), więc prawdopodobieństwo powinno być $$\binom{7}{5}\frac{5!}{3!2!}\frac{1}{2^{5}}$$ ale ta wartość okazuje się być większa niż 1, nie jestem w stanie znaleźć błędu w moich założeniach i obliczeniach, proszę o pomoc.

Wiem, że tutaj udzielono odpowiedzi na to pytanie , ale chcę wyjaśnić, gdzie popełniłem błąd lub źle oceniłem.

Odpowiedzi

1 delivery101 Aug 16 2020 at 18:55

Twój pomysł i obliczenia dla $\mathbb{P}(B)$są poprawne. Twój pomysł na$\mathbb{P}(A \cap B)$jest niepoprawna, ponieważ ma znaczenie, jakie są pozostałe dwie wartości w twojej sekwencji. Jak słusznie zauważył @ Fawkes4494d3, licząc zdarzenia wiele razy, robisz to w ten sposób. Aby znaleźć właściwe rozwiązanie, pomyśl o wydarzeniach, w których masz 2 lub więcej orłów i 3 lub więcej ogonów. Jedyne zdarzenia, które spełniają tę kombinację, to 3,4 lub 5 ogonów. Zastanów się więc, jak obliczyć prawdopodobieństwo tych zdarzeń.