endomorfizm liniowy między $V$ i podwójny $V$
Pozwolić $V$ być przestrzenią wektorową o skończonym wymiarze nad ciałem $K$. $V^*=\{l:V\to K\}$.
Okazać się $\operatorname{End}(V)$ liniowy izomorficzny do $\operatorname{End}(V^*)$.
Moja próba: od skończonego wymiaru przestrzeni wektorowej $\dim V^*=\dim V$
więc są liniowo izomorficzne według $\psi:V\to V^*$.
Tak dany element $T\in \operatorname{End}(V)$ możemy znaleźć $\hat{T} = \psi T\psi^{-1}$ łatwo sprawdzić, czy to endomorfizm liniowy.
A mapa jest od tego czasu dla każdego $\hat{T}$ możemy konstruować $T=\psi^{-1}\hat{T}\psi \in \operatorname{End}(V)$. Od tego czasu jest iniekcyjny$\hat{T} = 0$ sugeruje $T = 0$ jest mapą zerową, więc ma trywialne jądro.
Wreszcie musimy się pokazać $\phi:\operatorname{End}(V) \to \operatorname{End}(V^*)$jest również liniowa. to znaczy$\phi(T+S) = \phi(T)+\phi(S)$ z definicji $\hat{T}$ zawiera.
Czy mój dowód jest poprawny?
Odpowiedzi
Twój dowód jest poprawny. Istnieje jednak inny izomorfizm przestrzeni wektorowej między$\operatorname{End}(V)$ i $\operatorname{End}(V^*)$ który nie wymaga izomorfizmu $V \rightarrow V^*$. Mianowicie map$A \in \operatorname{End}(V)$ do $A^* \in \operatorname{End}(V^*)$ definiując $(A^*\phi)(x) = \phi(Ax)$. Tutaj,$ x\in V$ i $\phi \in V^*$.
Chcesz mapować $T\colon V\to V$ do mapy liniowej $V^*\to V^*$ i jest na to oczywisty sposób, mianowicie mapowanie $T$ do jego transpozycji $T^*$. Jednak to definiuje antyizomorfizm , ponieważ$(T_1T_2)^*=T_2^*T_1^*$.
Otrzymujesz izomorfizm, używając tego, kiedy $\dim V=n$, dostajesz $V\cong M_n(K)$ (pierścień $n\times n$macierze) poprzez wybór podstawy. Kończy się przechodniość izomorfizmu.