Jak możesz być pewien, że całka nie istnieje, jeśli nie ma całki nieoznaczonej?

Question

Powiedz, że masz całkę $\displaystyle\int_1^\infty{\frac{1}{x^{1+\frac{1}{x}}}}\;\mathrm{d}x$

Ta całka nie może zostać zakończona. Nie chodzi o to, że idzie w nieskończoność, ale fizycznie po prostu nie można jej dokończyć. Jak możesz to sobie uświadomić, jeśli to napotkasz? Jak możesz to udowodnić?

Answer 1

@KaviRamaMurthy i @ player2326 odpowiedzieli na to pytanie. Do rozwiązania tego problemu można zastosować test porównawczy.

Dodatkowe odniesienia:

Jak zobaczyć, że ta niewłaściwa całka jest rozbieżna?

Sprawdzenie, czy całka $\int_1^∞ \frac{1}{x^{\frac{1}{x}+1}} dx$ zbieżny

Answer 2

$$I=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^p}=\left .\frac{x^{1-p}}{1-p}\right|_{1}^{\infty}=\frac{1}{p-1}, ~if~ p>1,$$ dlatego $0^{1-p}=0$ gdyby tylko $p>1$inaczej jest nieskończona. Stąd całka zbiega się, kiedy$p>1$.