Jaki jest związek między pierwszym twierdzeniem HK a drugim twierdzeniem HK?

Jan 20 2021

Pierwsze twierdzenie Hohenberga-Kohna (HK) : Potencjał zewnętrzny$v(\vec{r})$ jest określana, w ramach trywialnej stałej addycji, przez gęstość elektronową stanu podstawowego ground $\rho(\vec{r})$.

Z podstaw mechaniki kwantowej wiemy, że: $v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$. Zgodnie z pierwszym twierdzeniem HK możemy dalej wiedzieć, że$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$. W istocie, pierwsze twierdzenie HK dowodzi odwzorowania jeden do jednego między potencjałami zewnętrznymi a gęstościami stanu podstawowego$\rho$ w układach wieloelektronowych.

Drugie twierdzenie HK : Istnieje uniwersalny funkcjonał gęstości,$F_{HK}[\rho']$, tak że dla każdego $N$- reprezentatywna gęstość ($\textit{i.e.}$, dowolna gęstość, która pochodzi z jakiejś funkcji falowej dla an $N$-system elektronowy) $\rho(\vec{r})$, co daje określoną liczbę elektronów $N$, funkcja energii jest, $$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$ w którym $E_g$ jest energią stanu podstawowego, a równość zachodzi, gdy gęstość $\rho'(\vec{r})$ jest prawdopodobnie zdegenerowaną gęstością stanu podstawowego $\rho_0'(\vec{r})$ dla potencjału zewnętrznego $v(\vec{r})$.

Z tych dwóch stwierdzeń nie widzę żadnego związku między tymi dwoma twierdzeniami. Więc jaki jest związek między tymi dwoma twierdzeniami? Gdyby$F_{HK}(\rho')$jest funkcjonałem gęstości stanu podstawowego, umiem zbudować połączenie między tymi dwoma twierdzeniami. Ale gęstość w$F_{HK}[\rho]$ nie jest konieczna gęstość stanu podstawowego.

  • O pierwszym twierdzeniu HK: http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
  • O drugim twierdzeniu HK: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub

Odpowiedzi

11 wcw Jan 20 2021 at 23:03

Używając notacji, definicja uniwersalnego funkcjonału to:

$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$

gdzie $\hat{T}$ i $\hat{W}$są odpowiednio operatorami kinetycznymi i oddziaływaniami elektron-elektron. Ta definicja jest możliwa dzięki odwzorowaniu jeden do jednego między gęstościami i odpowiadającymi im funkcjami falowymi stanu podstawowego (tj. ponieważ$\psi_0$ jest funkcjonalnym $\rho$), które moim zdaniem jest połączeniem, którego szukasz.

6 Hebo Jan 20 2021 at 23:00

Formalnym związkiem jest to, że pierwsze twierdzenie jest użyte w dowodzie drugiego. Rzeczywiście, drugi jest tłumaczeniem zasady, że$E[\Psi']$ ma minimum przy prawidłowej funkcji falowej stanu podstawowego $\Psi$, używając korespondencji jeden do jednego $\rho \leftrightarrow \Psi$ znany z pierwszego twierdzenia.

Wyprowadzenie można znaleźć w oryginalnej pracy Kohna i Hohenberga (część I-2.). Jest dość krótki i czytelny, więc warto go obejrzeć.