Jakie są ograniczenia języka matematyki?
Powiedziano mi, że matematyka nie może jakościowo wyrazić, jakie są elementy zbioru, tak że nie można na przykład powiedzieć, że członkami zbioru są białe tygrysy. A zatem matematyka nie może dodawać jakościowych szczegółów do koncepcji matematycznych lub instancji matematycznych. Chciałbym wiedzieć, jakie są inne ograniczenia języka matematyki w porównaniu z językiem pisanym lub mówionym, takim jak angielski.
Odpowiedzi
Język matematyczny to po prostu bardziej rygorystyczny sposób mówienia o świecie. W tym zakresie nie ma ograniczeń, które nie byłyby ograniczeniem do żadnego języka.
To, że dziś nikt nie wie, jak wyrażać żarty, kalambury i poezję matematycznie, nie oznacza, że nie można ich wyrazić matematycznie. Był taki czas, kiedy nikt nie wiedział, jak na przykład matematycznie wyrazić prawdopodobieństwa i spojrzeć teraz ...
Fakt, że nie ma wierszy napisanych w języku matematycznym, nie oznacza, że nie można tego zrobić. Wydaje się raczej bezpośrednią konsekwencją faktu, że jest to język specjalistyczny i dlatego większość ludzi nie rozumie go wystarczająco dobrze.
Co do żartów, oto jeden, napisany językiem logiki formalnej:
(φ ⊃ ψ) → (φ → ψ)
W rzeczywistości jest to bardzo zabawne, ale musisz to zrozumieć i bardzo niewielu ludzi to rozumie.
W przeciwieństwie do niektórych komentatorów, istnieje ogromna różnica między matematyką a językiem, pomimo faktu, że każde zdanie można oczywiście przetłumaczyć na matematyczną „informację”.
Russell, pozytywiści logiczni i inni postanowili uwolnić język od jego mrocznych cech, redukując zarówno język, jak i matematykę do logiki. Chociaż praca była dość owocna, sam projekt został uznany za porażkę, przynajmniej jako kompletny system. Przerwa między wczesnym a późnym Wittgensteinem stanowi dramatyczne podsumowanie tej „porażki”, biorąc pod uwagę ogromną, złożoną, żywą i performatywną naturę języka.
Po pierwsze, język jest ucieleśniony, empiryczny i przede wszystkim ustny. Rozpoczyna się wibracjami w łonie matki i jest ciągła wraz z życiem ludzkim, kontekstami fizycznymi i reprodukcją. Możemy przepisać słowa na wizualne alfabety, ale wymagają one raczej nienaturalnego, żmudnego procesu uczenia się. Nie możesz przetłumaczyć tych wizualnych znaków z powrotem na język bez dostępu do wypowiadanych słów. Oprócz prymitywnych piktogramów, nie można przetłumaczyć ani odtworzyć „martwego języka”, takiego jak liniowy A, bez pewnego, choć pośredniego, związku z żywym językiem „mówionym”.
To sugeruje, że język ma ten sam rodzaj związanej z czasem nieodwracalności, co samo życie, podczas gdy matematyka jest „odwracalna”, a zatem pozbawiona znaczenia, jeśli „znaczenie” ma do czynienia, jak mówi Luhmann, z relacjami między aktualnym a możliwym. Matematyka stara się pozbawić siebie możliwie największej ilości treści empirycznych, podczas gdy język jest doświadczeniem i zawsze zakłada, choćby na odległość, ucieleśnionego mówcę o określonej historii i środowisku.
Nie możemy uczyć się matematyki bez języka, ale języka łatwo uczymy się bez matematyki. W teorii, oczywiście, niektórzy mogą twierdzić, że sztuczna inteligencja pociągałaby za sobą matematyzację unikalnych ludzkich umiejętności językowych, które poruszają się w mózgach i między nimi. Ale jedną z językowych zdolności inteligentnych mózgów jest to, że rozmnażają się one same, podczas gdy jest bardzo wątpliwe, czy maszyny komputerowe mogą się rozmnażać poza środowiskiem rozmnażania się ludzi.
Istnieje ważna różnica między matematyką czystą a matematyką stosowaną.
Matematyka czysta zajmuje się całkowicie abstrakcyjnymi prawdami o ogólnej postaci „jakie są konsekwencje, biorąc pod uwagę pewne początkowe warunki formalne lub postulaty?”. Na przykład w systemie aksjomatycznym te warunki formalne są podzielone na prymitywy , relacje i aksjomaty, które określają, jak stosują się relacje między prymitywami. Ale prymitywy i relacje nie mają wewnętrznego znaczenia.
Kiedy jakieś znaczenie nada się prymitywowi, ćwiczenie staje się matematyką stosowaną. Danej czystej dyscyplinie matematycznej można przypisać wiele różnych znaczeń, z których każde prowadzi do innej gałęzi matematyki stosowanej. Jak kiedyś apokryficznie zauważył David Hilbert o geometrii aksjomatycznej, do stołów, krzeseł i kufli można z powodzeniem zastosować „punkty”, „linie” i „płaszczyzny”.
Zatem właściwości matematyczne elementów zbioru, jako prymitywnych symboli zastępczych, są domeną matematyki czystej, podczas gdy właściwości matematyczne klatki pełnej białych tygrysów są domeną matematyki stosowanej.
Za kolorami i muzyką kryje się dużo solidnej matematyki. W teorii mnogości można mówić o zbiorach z różnymi nieskończonymi kardynałami ze względu na ich liczbę kolorów.
Strukturę logiczną można przedstawić w formie diagramu, ogólnie i dla konkretnych koncepcji.
Mimo to zabezpieczyłbym swoje zakłady i po prostu powiedziałbym, że nie wiemy, czy możemy powiązać każdą istotną koncepcję z jej własną matematyzacją w odpowiedni sposób. W przypadkach, w których sukces nie wydaje się nadchodzący, może się zdarzyć, że po prostu nie rozwiązaliśmy jeszcze problemu tekstowego, że tak powiem.