Miara ryzyka wypukłości wariancji

Aug 16 2020

Mam nadzieję, że pomożesz mi z tym pytaniem, z którym naprawdę się zmagam. Czy wariancja jest wypukłą miarą ryzyka? Chyba nie, ale naprawdę ciężko mi znaleźć kontrprzykład.

Oto moje myśli. Próbowałem znaleźć przykład, gdzie:$var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$. wiem to$var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$.

Teraz, jeśli korelacja jest maksymalna, w takim przypadku $corr(X,Y)=1$ następnie:$\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$.

Ale nadal nie mogę znaleźć żadnego przykładu, w którym to jest większe niż $\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$.

Czy możesz dać mi jakieś wskazówki? Bardzo to doceniam.

Odpowiedzi

2 fesman Aug 16 2020 at 03:22

Rozważmy Twój maksymalny przypadek korelacji. Próbujesz znaleźć takie wartości

$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

lub

$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

lub

$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$

lub

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$

lub

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$

co najwyraźniej nigdy nie jest prawdą dla żadnego $0\leq\lambda\leq 1.$ Ponieważ LHS jest największy w maksymalnym przypadku korelacji:

$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$

a wariancja jest wypukłą miarą ryzyka.