Nieprzemienne diagramy węzłów
Zacznij od zamkniętej, samoprzecinającej się krzywej, w której każde skrzyżowanie jest poprzeczne. Teraz utwórz coś w rodzaju przeciwieństwa diagramu naprzemiennego węzła w następujący sposób. Zaczynając w dowolnym miejscu, pokonuj krzywą, a na każdym wcześniej nieodwiedzonym skrzyżowaniu przejdź nad/powyżej. Jeśli skrzyżowanie było już wcześniej odwiedzane, pozostaw przydzielone oznaczenie skrzyżowania.
Poniżej przedstawiono dwa przykłady. (a) jest wyraźnie węzłem. (b) jest również nierozwiązanym, być może nie tak oczywistym.
Czerwone kółko wskazuje punkt początkowy, strzałką kierunek ruchu.
Spodziewałem się, że te diagramy będą oczywiście przedstawiać węzeł, ale nie widzę wyraźnego dowodu. Więc:
P . Udowodnij (lub zaprzecz), że taki diagram węzła zawsze przedstawia węzeł.
Odpowiedzi
Diagram taki, jak opisujesz, nazywa się diagramem malejącym i faktycznie zawsze daje w wyniku trywialny węzeł. Aby uzyskać dowód, zobacz Lemat 3.2.10 zhttp://www.math.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf. Poprzednia odpowiedź ma dobry pomysł.
To jest zawsze niezwiązany. Zostałem przedstawiony przez mojego doradcę, ale nie sądzę, żeby to był pierwotnie jego argument, więc nie wiem, kto zrobił to pierwszy.
Aby to zobaczyć, użyjemy faktu, że numer mostka węzła to jeden, jeśli węzeł jest węzłem.
Narysuj rzut węzła i wybierz punkt początkowy. Przekształcimy tę projekcję w diagram, wykonując tylko przecięcia podczas przechodzenia przez projekcję. Jeśli rzut jest narysowany w$x,y$samolot gdzie$z=0$, możemy zawiązać węzeł w$\mathbb{R}^3$robiąc co$i$-te nowe przejście, do którego dochodzimy na poziomie$z=i$. Tak więc, kiedy spotkaliśmy każde skrzyżowanie w rzucie i mamy zamiar wrócić do pierwszego skrzyżowania, nasz węzeł w 3-przestrzeni musi cofnąć się z jakiegoś wysokiego$z$wartość z powrotem do$z=0$.
To, co mamy, to funkcja wysokości, w której węzeł rośnie ściśle wszędzie, z wyjątkiem małego odcinka między ostatnim skrzyżowaniem a pierwszym skrzyżowaniem. Tak więc istnieje jedno maksimum i jedno minimum, a zatem mostek numer 1 węzeł, węzeł.
Nie jestem pewien, jak pomocny, ponieważ nie jestem ekspertem, ale oto pomysł, który może być słuszny.
Najpierw wprowadź trzeci wymiar, prostopadły do twojego rysunku, i upewnij się, że „początkowy” punkt jest rzutem odcinka biegnącego prosto „w górę”. Wtedy powinno być możliwe założenie reszty węzła tak, aby idąc wzdłuż liny schodził się tylko w dół. Wyobraź sobie skelter (z prawie pionowymi schodami w górę), a będziesz miał dobry pomysł, co mam na myśli. Teraz jest to trochę pofalowane, ale uważam, że możesz po prostu przypisać stałe wysokości do każdego ze skrzyżowań, przechodząc przez nie w drodze „w dół”, a następnie rozciągać się do wszystkich innych punktów węzła. (Np. jeśli część „schodowa” wznosi się z wysokości$0$do$1$, dla$n$skrzyżowania, przechodząc przez każde z nich dwa razy, możesz zarezerwować wysokości$\frac{k}{2n+1}, k=1,2,\ldots,2n$dla „przecinających się” punktów na węźle.)
Reszta powinna być prostym obliczeniem, aby pokazać, że ten węzeł może zostać zdeformowany w węzeł. Jeżeli równanie pierwotnego węzła (część „poślizgowa”) jest sparametryzowane jako$(\rho(t)\cos\phi(t),\rho(t)\sin\phi(t),1-t), t\in[0,1]$, z$\rho(0)=\rho(1)=0$, a następnie zdeformuj go, bo$\lambda\in[0,1]$do$(\rho(t)\cos\lambda\phi(t),\rho(t)\sin\lambda\phi(t),1-t)$.$\lambda=1$daje oryginalny węzeł, podczas gdy$\lambda=0$daje oczywiste niezręczność w$x-z$samolot.