Oblicz oczekiwaną wartość w grze w kości.
Gramy w 2 etapy:
Na pierwszym etapie rzucamy kostką, aż otrzymamy numer 6, niech N reprezentuje liczbę zagranych razy, aż otrzymamy 6 po raz pierwszy.
W drugim etapie rzucamy N kośćmi (każdą tylko raz).
Pytanie: Niech$X$ reprezentują sumę wyników, które otrzymaliśmy w etapie 2, oblicz $E(X|N=n)$:
Co wiem? wiem to$N$ jest $\operatorname{Geo}(1/6)$ i to $E(N)=1/(1/6)=6$ aby kontynuować, muszę znać dystrybucję $X|N=n$, czy mogę uzyskać pomoc?
Odpowiedzi
Jeśli rzucimy $n$ kości, to oczekiwana wartość ich sumy wynosi $3.5n$. Wynika to bezpośrednio z faktu, że średni wynik na jednej kostce wynosi$3.5$ (a oczekiwanie jest liniowe).
Pozwolić $A_i$ równy wynikowi $i$rzut kością. $E(A_i)$ można obliczyć w następujący sposób:$$\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5 \, .$$ Pozwolić $B$ równa sumie $n$rolki. \ begin {align} E (B) & = E (A_1) + E (A_2) + \ ldots + E (A_n) \\ & = \ underbrace {3,5 + 3,5 + \ ldots + 3,5} _ {\ text {$n$razy}} \\ & = 3.5n \,. \ end {align}