Przedstaw funkcję jako różnicę dwóch funkcji wypukłych

Question

Wiem, że jeśli $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ jest $C^2$można go przepisać jako różnicę dwóch funkcji wypukłych. Pytam, czy jest ktoś, kto wie, czy to możliwe rozszerzyć tę właściwość na funkcję, która ma$\mathbb{R}^n$ jako domena.

Answer 1

Jest to możliwe na przykład:

Jeśli $f \in C^2(D,\mathbb{R})$ i $D$ niepusty, wypukły i zwarty podzbiór $\mathbb{R}^n$, następnie $f$ jest funkcją dc, tj. różnicą dwóch funkcji wypukłych.

Dowodu nie można zrobić w ten sam sposób, co w $\mathbb{R}$. Zauważ, że w tej instrukcji potrzebujesz kompaktowego podzbioru.

Oto odniesienie (odpowiedź Sanjo): https://math.stackexchange.com/a/843020/797553

Do celów dowodowych $g(x)=f(x) + \rho/2 \cdot x^Tx$ i $h(x)=\rho/2 \cdot x^Tx$, gdzie $\rho=\left| ~min ~\{\lambda_{min}(Hessf(x)): x\in D\} ~\right|$. Następnie$f=g-h$. Zwróć na to uwagę$\rho$ istnieje tylko jako $D$ jest kompaktowy.

EDYCJA: dla $D=\mathbb{R}^n$stwierdzenie jest nadal prawdziwe. (patrz [Konno H., Thach PT, Tuy H. (1997) DC Functions and DC Sets. In: Optimization on Low Rank Nonconvex Structures. Nonconvex Optimization and Its Applications, tom 15. Springer, Boston, MA]). W tej książce znajdziesz również dowód na powyższe stwierdzenie.