Sekwencje Følnera o dziwnych kształtach
Pozwolić $G$być dyskretną i nieskończenie generowaną grupą. Odwołaj to$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$jest sekwencją Følnera, jeśli$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ dla każdego $g \in G$. Jak dobrze wiadomo, istnienie sekwencji Følnera jest równoznaczne z podatnością$G$.
Często mówi się, że sekwencje Følnera mają dziwne kształty. Moje delikatne pytanie brzmi: jakie mamy przykłady na poparcie tego twierdzenia? Oczywiście jeśli$G$ma wzrost subwykładniczy, to podciąg kulek tworzy ciąg Følnera, który nie ma dziwnego kształtu. Stąd, dokładniej: jakie znamy przykłady grup wzrostu wykładniczego, które mają wyraźne ciągi Følnera, które nie są zbudowane z kulek?
Jako przykłady przykładów, o które proszę, ciąg Folnera w kształcie gwiazdy prosi o zbiory Følnera o określonej formie, podczas gdy odpowiedź zestawów i kul Folnera daje wyraźne sekwencje złożone z prostokątów (w przeciwieństwie do piłek). Podobnie grupa ax + b ma ciąg Følnera złożony z prostokątów, w których jedna strona jest wykładniczo większa niż druga.
Odpowiedzi
Algebra jest tutaj bardziej przydatna niż obrazki, ale obrazki są fajne, więc proszę bardzo. Aby uzasadnić mój komentarz na temat latarki, szybkie renderingi typowej kuli i zestawu latarek Følner. Właściwie nie wiem, który z nich jest ładniejszy, ale zestaw Følner jest w rzeczywistości tym, który wygląda bardziej jak piłka.
Te dwa zdjęcia są zrobione pod różnymi kątami i tworzą w ten sposób stereogram, więc jeśli spojrzysz na skrajne lewe zdjęcie prawym okiem i odwrotnie, Twoje stereopsje powinny zadziałać. Uważam to za pomocne, jeśli nie, możesz zignorować jedno z zdjęcia.
Najpierw kula lub promień $3$z generatorami, w których porusza się głowa. Kiedy głowa przesunie się w prawo, przechodzisz w górę diagramu. Używam pewnych konwencji, które, miejmy nadzieję, można zgadnąć.
Oto typowy zestaw Følnera z tymi samymi generatorami.
To pytanie było popularne w latach 50. i 60. po udowodnieniu twierdzenia Folnera. Skonstruowano wiele przykładów dziwnych zestawów Folnera. Typowe przykłady grup, w których zbiory Folnera nie są ani kulami, są grupami jaśniejszymi i wytworami wieńców nieskończonych grup cyklicznych. Bardziej aktualne artykuły można znaleźć w Annie Erschler. Na profilach izoperymetrycznych skończonych grup. Geom. Dedicata, 100: 157–171, 2003 i zawarte tam odniesienia.
Odpowiedź na twoje nie-miękkie pytanie jest taka, że wszystkie poniższe grupy mają [co najmniej jeden] zestaw generujący, w którym wiadomo, że kule nie są Folnerem, ale inna („prostokątna”) sekwencja to: możliwe do rozwiązania Baumslag-Solitar, niektóre produkty z wieńców (w tym latarka), niektóre przedłużenia$\mathbb{Z}^d$ przez $\mathbb{Z}$ (te podane przez macierz bez wartości własnych normy 1), niektóre $ax+b$ grup i w zasadzie prawie wszystkie grupy wzrostu wykładniczego, które można poddać reakcji, których seria wzrostu jest racjonalna i została obliczona (szczegóły poniżej).
„dziwność” zbiorów Folnera: Jak wspomniano w pytaniu, [podciąg ciągu] kulek tworzy naturalny ciąg Folnera w dowolnej grupie wzrostu podwykładniczego. Teraz, jak wskazali inni, kule (w odniesieniu do jakiegoś skończonego zestawu generującego) są dość „brzydkie”. Można to sprecyzować, biorąc pod uwagę koncepcję optymalnego zestawu Folnera:
Pozwolić $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ (the $\inf$ przebiega przez wszystkie zestawy $A$ wielkościowy $\leq n$) być profilem izoperymetrycznym. Następnie zestaw$F$ jest optymalny, jeśli $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$. Słowem: jeśli zestaw$E$ nie jest większe niż $F$, to jest to stosunek izoperymetryczny $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$, nie przewyższa współczynnika izoperymetrycznego $F$.
Można sprawdzić (korzystając z nierówności Loomisa-Whitneya), czy ustawia się optymalny Folner $\mathbb{Z}^d$(wrt zwykły zestaw generujący) to [hiper] kostki (lub że mają one zwykle kształt prostokątny). W ten sposób jednoznacznie można powiedzieć, że kule to „niezdarne” zestawy Folnera. Dla porównania optymalne zestawy wcale nie są „dziwne” (bo muszą być wyjątkowo dobrze dobrane).
Więcej informacji o dziwności można znaleźć w uwagach bocznych poniżej.
Wyraźne przykłady: Następnie, biorąc pod uwagę grupę wzrostu wykładniczego, pozostaje otwarte pytanie, czy jakikolwiek podciąg ciągu piłek to Folner. Podałem częściową odpowiedź, która pokazuje, że tak nie jest, gdy grupa [wraz z wyborem zespołu generującego] ma przyspieszony wzrost wykładniczy. Obejmuje to wiele produktów do wieńców, rozwiązalne grupy Baumslag-Solitar i niektóre rozszerzenia$\mathbb{Z}^d$ przez $\mathbb{Z}$ (zobacz link po szczegóły).
Wszystkie te grupy można zapisać jako produkty pół-bezpośrednie. Gdyby$G$ i $H$ są do przyjęcia, to można to pokazać $G \rtimes H$ jest podatny i że zestawy Folnera są z Formy $E_n \times F_n$ (gdzie $E_n$ [odp. $F_n$] jest sekwencją Folnera $G$ [odp. $H$]). W tym sensie zbiory Folnera, z którymi się spotykamy (leniwie, w tym sensie, że wytwarza je dowód ogólny) w takich grupach są „prostokątne”.
Stąd wymienione powyżej grupy [rozwiązalne Baumslag-Solitar, niektóre grupy metabelian, grupy, których serie wzrostu są racjonalne i nie mają dwóch biegunów w promieniu zbieżności (co obejmuje wiele produktów wieńcowych i $ax+b$-groups)] są bezpośrednią odpowiedzią na twoje drugie pytanie (dla jakiegoś agregatu prądotwórczego). Wiadomo, że kule (wrt agregaty prądotwórcze) to nie Folner, ale jakiś zbiór „prostokątny” jest (żeby być precyzyjnym: mogą istnieć grupy z pojedynczym biegunem, które nie są produktami pół-bezpośrednimi lub rozszerzeniami grup podatnych; dla tych grup [ jeśli jakieś są znane] nie ma zbiorów „prostokątnych”).
Dla nierozdzielonych rozszerzeń opis zestawów Folnera podał tam Ycor. Zauważ, że można by dostosować znaczenie słowa „prostokątny” dla nierozdzielonych rozszerzeń: biorąc wstępny obraz zbioru Folnera z ilorazu razy jakiś zbiór Folnera z podgrupy.
Więc teraz można by pomyśleć, że „prostokątne” (a już nie piłki) zestawy są faworytami. Ale są też proste grupy o średnim wzroście, zobacz to pytanie . I (jeśli nie dla takich grup, to dla innych prostych grup wzrostu podwykładniczego) myślę, że kule są jedynymi kandydatami, jakie mamy.
Zasadniczo uważam, że problem ma więcej wspólnego z tym, jak tworzymy podatne grupy. Zawsze używamy czterech właściwości podatności (rozszerzenie, podgrupa, iloraz i bezpośrednie ograniczenie). Zaczynają więc od wzrostu jako podstawowego kryterium i wykorzystują te cztery właściwości (prawdopodobnie jest na to wiele sposobów). W ten sposób otrzymasz znane zestawy Folnera dla danej grupy. Jako głupi przykład można powiedzieć, że wkracza naturalny Folner$\mathbb{Z}^3$ to cylindry (kule w $\mathbb{Z}^2$ razy wpada do środka $\mathbb{Z}$).
Uwaga boczna 1: od dawna otwartą kwestią jest udowodnienie, czym są takie zbiory w (ciągłej) grupie Heisenberga (chociaż domniemany kształt jest dobrze opisany). To była moja motywacja do tego pytania.
Uwaga boczna 2: Jak wskazał Ycor, biorąc pod uwagę sekwencję Folnera$F_n$ możesz uczynić to „tak dziwnym, jak chcesz”, rozważając dowolną sekwencję zbiorów skończonych $E_n$ z $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$. Jedną z zalet rozważenia optymalnych sekwencji Folnera byłoby uniknięcie takich konfiguracji (oczywistą wadą jest to, że prawie nie ma grup, w których znane są optymalne zestawy). Kolejna uwaga to dodanie takiego zestawu$E_n$nie ma wpływu na otrzymywaną niezmienną miarę (dla stałego ultrafiltra). Należy zauważyć, że tłumaczenie zbiorów może mieć wpływ na miarę graniczną.
Uwaga boczna 3: Oto kolejny aspekt „dziwności” zestawów Folnera. Rozważ sekwencję$P_n = [2^n,2^{n+1}]$, $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$, jak również $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ zestawów w $\mathbb{Z}$. Następnie rozważ funkcję$f(n) = \mathrm{sign}(n)$. Niezmienna średnia otrzymywana z$P_n$ na $f$ wynosi 1 (niezależnie od wybranego ultrafiltra), z którym otrzymujesz $M_n$ jest $-1$ (znowu, bez względu na ultrafiltr) i wreszcie ten, z którym otrzymujesz $A_n$zależy od wybranego filtra ultafilter. I możesz utworzyć dla dowolnej liczby rzeczywistej w formacie$[-1,1]$ sekwencja $R_n$która zbiega się do tej liczby (niezależnie od ultrafiltra). Nie jest trudno skonstruować sekwencję, która może, w zależności od ultrafiltra, zbiegać się do dowolnej liczby wymiernej w$[-1,1]$.