Skończona atomowa przestrzeń miar może być policzalnym rozłącznym związkiem atomów [duplikat]

Question

Atom A w przestrzeni miar jest mierzalnym zbiorem z dodatnią miarą, tak że każdy mierzalny podzbiór A ma taką samą miarę A lub 0.

Miara atomowa to taka przestrzeń miary, w której w każdym mierzalnym zbiorze znajduje się atom.

Powiedzmy, że mam dodatnią atomową przestrzeń miar $(X, \Sigma, \mu)$ takie że $\mu(X)<\infty$. Chcę udowodnić, że X jest policzalnym rozłącznym związkiem atomów i zbiorem z zerową miarą.

Moja próba:

X jest zbiorem mierzalnym, dlatego istnieje atom $A_1 \subseteq X$, Jeśli $\mu(X/A_1) = 0$ Skończyliśmy, jeśli nie, to zdefiniujemy $A_2$ jako atom podrzędny $X/A_1$i tak postępujemy dla każdego n. Muszę to udowodnić$\mu(X/\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = 0$.

Answer 1

Nie jestem pewien, czy możesz to udowodnić $\mu\bigl(X\setminus \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\bigr)=0$ ponieważ nie masz żadnego warunku w wyborze pliku $A_n$s, ale można to zrobić, jeśli wzmocnisz swoją rekurencyjną konstrukcję $A_n$jest.

Powyższy argument jest przykładem „argumentu wyczerpania” , „wyczerpujemy” wszystkie atomy$X$.

Pozwolić $\mathcal{A_1}=\{A\in \Sigma:\, A\subseteq A,\ A\ \text{is an atom}\}$ i $\alpha_1=\sup_{A\in \mathcal{A_1}}\mu(A)>0$. Następnie znajdujemy atom$A_1\subseteq X$ takie że $\mu(A_1)\geq 2^{-1}\alpha_1$(to jest nasz stan). Jak powiedziałeś, jeśli dla każdego$B\subseteq X\setminus A_1$ mamy $\mu(B)=0$ potem piszemy $X=A_1\cup B$i gotowe. Przypuśćmy teraz, że$X$nie może być zapisane jako skończony rozłączny związek atomów i zbiór miary zerowej. Następnie kontynuując jak poprzednio, rekurencyjnie znajdujemy sekwencję$A_n$ atomów takich, że

$1)$ $\mu(A_{n+1})\geq 2^{-1}\alpha_{n+1}$

$2)$ $\alpha_{n+1}=\sup_{A\in \mathcal{A_{n+1}}}\mu(A)$

$3)$ $\mathcal{A_{n+1}}=\{A\in \Sigma:\, A\subseteq X\setminus(A_1\cup...\cup A_{n}),\,\ $ZA$\, \text{is an atom}\}$

Teraz jeśli $A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$ pokażemy to $\mu(X\setminus A)=0$. Ponieważ$A_n$są rozłączne $(1)$ mamy $$\mu(A)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)\geq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha_n}{2}$$ Teraz, $\mu$ bycie skończonym implikuje to $\alpha_n\to 0$ tak jak $n\to \infty$. Przypuśćmy teraz, że$X\setminus A$ma pozytywną miarę. Następnie,$X\setminus A$ zawierałby atom, powiedzmy $B$. Ale$B\subseteq X\setminus A$ wynika z tego $B\subseteq X\setminus (A_1\cup ...\cup A_{n})$ dla każdego $n$. Tak więc od$B$ jest atomem, wynika z tego $B\in \mathcal{A_{n+1}}$. Stąd, zgodnie z definicją$\alpha_n's$ musimy mieć $\mu(B)\leq \alpha_{n+1}$ dla każdego $n$. Więc,$B$ musi mieć miarę zerową, co zaprzecza temu $B$ jest atomem i musi mieć pozytywną miarę.