Transformata Fouriera $L^1$ funkcja, której pochodna jest w $L^1$ i znika w nieskończoności $L^1$

Question

$f \in L^1(\mathbb{R})$ jest funkcją różniczkowalną, taką że $f' \in L^1(\mathbb{R}) \cap C_0(\mathbb{R})$, udowodnić, że transformata Fouriera $f$ odnotowany $\hat{f}$ jest w $L^1 (\mathbb{R})$

Wiem czy $f,f'\in L^1(\mathbb{R})$, następnie $\widehat{f'}(t)=it\hat{f}(t)$ale nie mam pomysłu, jak użyć warunku, że pochodna zniknie w nieskończoności. Wszelkie pomysły będą pomocne.

Answer 1

Dwie wskazówki:

Wykorzystaj to $f'$ jest zobowiązany to pokazać $f' \in L^2$ i użycie Plancherel.

Zwróć na to uwagę $f'$ jest ograniczony i od tego czasu$|f'|^2 \le \sup |f'| |f'|$ widzimy to $f' \in L^2$. Następnie Plancherel to pokazuje$\hat{f'} \in L^2$. Zwróć na to uwagę$\hat{f'}(\omega) = i\omega \hat{f(\omega)$.

Użyj Cauchy Schwartz i zanotuj to dla $\omega \neq 0$ mamy $\hat{f}(\omega) = \omega \hat{f}(\omega) \cdot {1 \over \omega}$.

Dla $\omega \neq 0$ mamy $|\hat{f}(\omega)| = |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|}$ a Cauchy Schwartz daje $\int|\hat{f}| = \int |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega = \int |\hat{f'}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega \le \| \hat{f'}\| \| \omega \mapsto {1 \over |\omega|} \|$.