W kontekście DFT, gdzie próbka częstotliwości Nyquista należy do dwustronnego widma częstotliwości (strona dodatnia / ujemna)?

Jan 10 2021

Jeśli mamy parzystą liczbę punktów danych $N$, po DFT w MATLAB-ie, wyjście ma kolejność:

$$(\text{DC}, f_1, f_2, \ldots, f_{N/2-1}, f_\text{Nyq}, -f_{N/2-1}, -f_{N/2-2}, \ldots, -f_1)$$

W przypadku sygnałów rzeczywistych pierwsze wyjście odpowiadające $k$= 0, jest rzeczywista, podobnie jak częstotliwość Nyquista. Następnie liczby są złożonymi koniugatami.

Jeśli interesuje nas widmo jednostronne, częstotliwość Nyquista jest pokazana po stronie dodatniej.

Jednak gdy wykreślane jest dwustronne widmo częstotliwości, wielu autorów stawia częstotliwość Nyquista po stronie ujemnej.

Niektóre programy, takie jak OriginPro, działają odwrotnie. Czy istnieje zasadniczo poprawny sposób, czy jest to tylko konwencja, tj.

$$ \text { If } N \text { is even, } \quad k\quad\text { takes: }-\frac{N}{2}, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}-1 $$

Alternatywnie, $$ \text { If } N \text { is even, } \quad k \text { takes: } -\frac{N}{2}-1, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}$$

gdzie $k$ jest wektorem indeksu DFT, który jest używany do konstruowania osi częstotliwości jako

$$\text {Frequency axis}=k/ N\Delta t$$

gdzie $\Delta t$ jest interwałem próbkowania.

Wiele osób twierdzi, że to tylko konwencja i obie mają rację. Dzięki.

Odpowiedzi

3 OverLordGoldDragon Jan 10 2021 at 16:26

To konwencja, są równoważne:

$$ \exp{\left(j2 \pi \frac{N}{2}n/N \right)} = \exp{\left(j2\pi \frac{-N}{2}n/N\right)} \\ \Rightarrow e^{j\pi n} = e^{-j \pi n} \Rightarrow \cos(\pi n) = \cos(-\pi n)=(-1)^n,\ j\sin(\pi n) = j\sin(-\pi n) = 0 $$

MATLAB i Numpy idą $[-N/2, ..., N/2-1]$, co jest niefortunne dla reprezentacji analitycznych (tylko + częstości). Zauważ również, że jego wartość jest podwojona w stosunku do innych pojemników (ale nie ręcznie; korelują w ten sposób), więc w pewnym sensie jest to zarówno częstotliwość ujemna, jak i dodatnia, więc energia zostaje zachowana:

Możesz określić preferencje biblioteki według fftshift dokumentów :

robertbristow-johnson Jan 10 2021 at 12:04

Zarozumiały $x[n]$ jest rzeczywisty, powodując $X[k]$będąc „hermitowskim symetrycznym” ;

$$ X[N-k] = (X[k])^* $$

i jeśli $N$ jest parzysta, to wartość w przedziale DFT $X[\tfrac{N}{2}]$(która jest rzeczywistą ilością bez części urojonej) należy podzielić na dwie równe połowy. Połowę należy umieścić na$k=-\tfrac{N}{2}$ a druga połowa umieszczona w $k=+\tfrac{N}{2}$.

Ta poprzednia odpowiedź dotyczy tego.