Wartości $a$ takie że $x^5-x-a$ ma współczynnik kwadratowy
Chciałbym znaleźć wszystkie liczby całkowite $a$ takie że $x^5-x-a$ ma współczynnik kwadratowy w $\mathbb{Z}[x]$.
Moja próba
Pozwolić $x^5-x-a=(x^2+bx+c)(x^3+dx^2+ex+f)$tak, że mamy:
$$\begin{array}{rcl} b+d&=&0\\ e+bd+c&=&0\\ f+be+cd&=&0\\ bf+ce&=&-1\\ cf&=&-a \end{array}$$
W związku z tym:
$$\begin{array}{rcccl} d&=&-b\\ e&=&-bd-c&=&b^2-c\\ f&=&-be-cd&=&-b^3+2bc \end{array}$$
i mamy:
$$1=-bf-ce=b^4-3b^2c+c^2,$$
po to aby:
$$(2c-3b^2)^2=5b^4+4.$$
Pytanie
Jak mogę znaleźć wszystkie wartości $n$ takie że $5n^4+4$ to idealny kwadrat?
Moja próba
Gdyby $m^2=5n^4+4$, następnie $m^2-5n^4=4$.
Gdyby $m=2m_*$, następnie $n$ jest równy, więc to $n=2n_*$i mamy równanie $m_*^2-20n_*^4=1$. Według równania Pella, ponieważ$(a,b)=(9,2)$ jest najmniej nietrywialnym rozwiązaniem $a^2-20b^2=1$, to ogólne rozwiązanie ma postać $(a_n,b_n)$ gdzie $a_n+b_n\sqrt{20}=(9+2\sqrt{20})^n$, ale nie wiem, jak się dowiedzieć, jakie wartości $n$ robić $b_n$ plac.
Odpowiedzi
Wersja krótka: w $w^2 - 5 v^2 = 4,$ liczby $v$ to liczby Fibonacciego, z których największy idealny kwadrat ma $144$
Jak widać, moje liczby „v” są alternatywnymi liczbami Fibonacciego, a „w” to Lucas. Spróbuję znaleźć odniesienie, wiadomo, że największa kwadratowa liczba Fibonacciego to 144. Twoja największa$n$ jest zatem $12,$ gdzie Twój $m=322$
COHN 1963
Umm. Oto topograf Conwaya dla formy kwadratowej$x^2 - 5 y^2.$ To dowód na to, że wszystkie rozwiązania $x^2 - 5 y^2 = 4$ są generowane przez początkowe pary $$ (2,0) , (3,1) , ( 7,3), (18,8), (47,21), 123,55), (322,144), (843, 377) $$ z rekurencjami $$ x_{n+6} = 18 x_{n+3} - x_n $$ $$ y_{n+6} = 18 y_{n+3} - y_n $$
Te są od Cayley-Hamilton dla $$ \left( \begin{array}{cc} 9&20 \\ 4&9 \end{array} \right) $$
Trochę więcej pracy pokazuje, że możemy interpolować, czyli $$ x_{n+2} = 3 x_{n+1} - x_n $$ $$ y_{n+2} = 3 y_{n+1} - y_n $$
Zobaczmy, irracjonalne w opisie Bineta alternatywnych liczb Fibonacciego są $$ \frac{3 \pm \sqrt 5}{2}, $$ podczas $$ \left(\frac{3 \pm \sqrt 5}{2} \right)^3 = 9 \pm 4 \sqrt 5 $$ gdzie $9 \pm 4 \sqrt 5$ są liczbami Bineta z $\lambda^2 - 18 \lambda + 1 =0$
Źródła RE w topografie Conwaya
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/conwaysens.pdf (Conway)
https://www.math.cornell.edu/~hatcher/TN/TNbook.pdf (Hatcher)
http://bookstore.ams.org/mbk-105/ (Weissman)
http://www.springer.com/us/book/9780387955872 (Nadal dobrze)
Generuj rozwiązania kwadratowego równania diofantycznego
diagramy
Kolejne kwadratowe równanie Diofantyna: Jak mam postępować?
Jak znaleźć rozwiązania $x^2-3y^2=-2$?
Generuj rozwiązania kwadratowego równania diofantycznego
Dlaczego Alpertron nie może rozwiązać tego równania podobnego do Pell?
Znalezienie wszystkich rozwiązań równania typu Pella $x^2-5y^2 = -4$
Gdyby $(m,n)\in\mathbb Z_+^2$ spełnia $3m^2+m = 4n^2+n$ następnie $(m-n)$ to idealny kwadrat.
jak rozwiązać postać binarną $ax^2+bxy+cy^2=m$, dla liczb całkowitych i wymiernych $ (x,y)$ :::: 69 55
Znajdź wszystkie całkowite rozwiązania równania $|5x^2 - y^2| = 4$
Dodatnia liczba całkowita $n$ takie że $2n+1$ , $3n+1$ są idealnymi kwadratami
Mapy prymitywnych wektorów i rzeki Conwaya, czy ktoś zbudował to w SAGE?
Nieskończenie wiele systemów $23$ kolejne liczby całkowite
Rozwiąż następujące równanie dla x i y: <1, -1, -1>
Znajdowanie liczb całkowitych w postaci $3x^2 + xy - 5y^2$ gdzie $x$ i $y$ są liczbami całkowitymi, używając diagramu za pomocą progresji arytmetycznej
Mała reprezentacja całkowa jako $x^2-2y^2$ w równaniu Pella
Rozwiązywanie równania $ x^2-7y^2=-3 $ ponad liczbami całkowitymi
Rozwiązania równań diofantycznych
Jak udowodnić, że pierwiastki tego równania są liczbami całkowitymi?
Czy równanie podobne do Pell $X^2-dY^2=k$ mają prostą rekursję, taką jak $X^2-dY^2=1$?
http://math.stackexchange.com/questions/1737385/if-d1-is-a-squarefree-integer-show-that-x2-dy2-c-gives-some-bounds-i/1737824#1737824 "posiew"
Znajdź wszystkie liczby naturalne $n$ takie że $21n^2-20$ to idealny kwadrat.
Czy istnieje prosty dowód, że jeśli $(b-a)(b+a) = ab - 1$, następnie $a, b$muszą być liczbami Fibonacciego? 1,1, -1; 1,11
Aby znaleźć wszystkie integralne rozwiązania $3x^2 - 4y^2 = 11$
Jak rozwiązujemy równania podobne do kulek?
Równanie diofantyny $x^2 + xy − 3y^2 = 17$ <1,1, -3>
jagy@phobeusjunior:~$ ./Pell_Target_Fundamental
Automorphism matrix:
9 20
4 9
Automorphism backwards:
9 -20
-4 9
9^2 - 5 4^2 = 1
w^2 - 5 v^2 = 4 = 2^2
Thu Nov 19 10:06:08 PST 2020
w: 2 v: 0 SEED KEEP +-
w: 3 v: 1 SEED KEEP +-
w: 7 v: 3 SEED BACK ONE STEP 3 , -1
w: 18 v: 8 SEED BACK ONE STEP 2 , 0
w: 47 v: 21
w: 123 v: 55
w: 322 v: 144
w: 843 v: 377
w: 2207 v: 987
w: 5778 v: 2584
w: 15127 v: 6765
w: 39603 v: 17711
w: 103682 v: 46368
w: 271443 v: 121393
w: 710647 v: 317811
w: 1860498 v: 832040
w: 4870847 v: 2178309
w: 12752043 v: 5702887
Thu Nov 19 10:06:37 PST 2020
w^2 - 5 v^2 = 4 = 2^2
Zasadniczo jest to krzywa eliptyczna.
Mogą istnieć metody elementarne, ale istnieją również systemy algebry komputerowej, które mogą (w wielu przypadkach) rozwiązać tego rodzaju równania diofantyczne.
Możemy przepisać równanie jako: $m^2n^2 = 5n^6 + 4n^2$.
Jeśli piszemy $y = 5mn$ i $x = 5n^2$, wtedy staje się $y^2 = x^3 + 20x$.
Teraz używamy Sage do znalezienia wszystkich punktów całkowitych na tej krzywej. Wklej następujące kody do tej witryny i naciśnij „Oceń”.
EllipticCurve([20, 0]).integral_points()
Wyjście:
[(0 : 0 : 1), (4 : 12 : 1), (5 : 15 : 1), (720 : 19320 : 1)]
Widzimy, że odpowiednie wartości $(m, n)$ są $(2,0), (3,1), (322,12)$, odpowiednio (wartości ujemne nie są wymienione).
Innym sposobem jest wykonanie długiego podziału $x ^ 5-x-a$ przez arbitralny trójmian $x ^ 2 + bx + c$a resztę ustaw na zero. To daje resztę$$(c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1) x + (cb ^ 3-2bc ^ 2-a) = 0$$ skąd mamy $a = cb (b ^ 2-2c)$ i $c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1 = 0$.
Oznacza to, że dla każdego rozwiązania $c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1 = 0$ mamy odpowiednią wartość $a = cb (b ^ 2-2c)$.
Niektóre rozwiązania $c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1 = 0$ są $(b,c)=(1,3),(0,1),(12,55),(12,377)$.
PRZYKŁADY. -$(b,c)=(1,3)$ daje $a=-15$ i mamy $$x^5-x+15=(x^2+x+3)(x^3-x^2-2x+5)$$ $(b,c)=(12,377)$ daje $a=-2759640$ i mamy $$x^5-x+2759640=(x^2+12x+377)(x^3-12x^2-233x+7320)$$