Zależność czasowa operatorów

Question

We wstępie Griffithsa do mechaniki kwantowej, badając ewolucję wartości oczekiwanej pozycji w czasie, autor napisał: $$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

Więc $$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

Czy on właśnie to założył $x$nie jest uzależniony od czasu? I dlaczego?

Answer 1

Czy po prostu założył, że x nie jest zależne od czasu? I dlaczego?

Tak. Wynik całki postaci$$\int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx \tag{1}$$ jest funkcją czasu $t$; to znaczy, funkcja jednej zmiennej rzeczywistej (lub, mówiąc ogólnie, całka będzie obliczana do wielkości, która nie będzie zależeć od$x$, tylko na $t$). Tak więc po różnicowaniu$(1)$, można by dostać: $$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx = \int \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx$$zgodnie z Twierdzeniem Całkowym Leibniza (zwróć uwagę, że przyjąłem słabe założenia dotyczące zachowania$f$, ale tutaj nie jest to niewiarygodne). Trywialne zastosowanie tego w$$\langle x \rangle := \int_{\mathbb{R}} x |{\Psi(x,t)}|^2 \, dx$$ daje pożądany rezultat.

Answer 2

Oto dwa sformułowania mechaniki kwantowej:

• Reprezentacja Schrödingera . Ewolucja czasu jest zakodowana w wektorze stanu, funkcji falowej -$\Psi(x,t)$a obserwable (operatory) są stałe w czasie
• Reprezentacja Heisenberga . Teraz operatory ewoluują w czasie, a wektory stanu są niezależne od czasu i są stałe.

W przypadku teorii oddziałujących istnieje hybrydowa reprezentacja interakcji . Tutaj operatorzy ewoluują wraz z nie oddziałującym hamiltonianem$H_0$, a stany ewoluują poprzez część interakcji $H_I$.

Więc w twoim przypadku autor używa reprezentacji Schrödingera.