Zrozumienie twierdzenia i dowodu twierdzenia Bertiniego u Griffithsa i Harrisa

Aug 15 2020

Mam problem ze zrozumieniem twierdzenia i dowodu twierdzenia Bertiniego w książce Griffiths & Harris (s.$137$). Szczerze mówiąc, nie rozumiem ani słowa, nawet po przeczytaniu kilku odpowiedzi na stosie. Twierdzenie jest takie

Ogólny element systemu liniowego jest gładko oddalony od bazowego położenia systemu.

Pierwsze pytanie . Czy powyższe stwierdzenie odnosi się do liniowych ogólnych wiązek linii, a nie tylko do wiązek linii powiązanych z dzielnikami?

O ile mogę powiedzieć, odnosi się do liniowego układu wiązki linii powiązanej z dzielnikiem. Powiedz mi, jeśli się mylę.

Drugie pytanie . Co to jest element ogólny? Albo jaki jest ogólny ołówek?

W dowodzie autorzy rozpoczynają od: „ Jeśli element ogólny systemu liniowego jest osobliwy z dala od podstawowego miejsca układu, to to samo będzie prawdą dla ogólnego ołówka zawartego w systemie; wystarczy więc udowodnić Bertini ołówek ”.

Trzecie pytanie . Co dokładnie oznacza powyższe zdanie?

Teraz przypuśćmy $\left \{D_{\lambda} \right \}_{\lambda \in \mathbb{P}^1}$ to ołówek

Czwarte pytanie . Dlaczego piszą autorzy$D_{\lambda} = (f+\lambda g = 0)$? Co robisz$f,g$ znaczy tutaj?

Ostatnie pytanie dotyczy stopnia odmiany (s.$171$).

Bertini zastosował gładkie miejsce $V$ ogólny $(n-k)$-samolot $\mathbb{P}^{n-k} \subset \mathbb{P}^n$ będą się przecinać $V$ poprzecznie i tak się spotkają $V$ Dokładnie $\mathrm{deg}(V) = ^{\#}(\mathbb{P}^{n-k}.V)$ zwrotnica.

Ostatnie pytanie . Co jest ogólne$(n-k)$-samolot? W tym przypadku, dlaczego się przecina$V$ poprzecznie?

Odpowiedzi

1 TabesBridges Aug 16 2020 at 03:55
  1. W twoim ustawieniu (złożona rozmaitość) wszystkie wiązki linii pochodzą z dzielników i na odwrót.

  2. Ogólny element systemu liniowego oznacza, że ​​w $\mathbb P^r$ parametryzując elementy tego układu liniowego, rozważamy pewien gęsty, otwarty podzbiór $\mathbb P^r$. Elementy ogólne to te sparametryzowane przez punkt w tym gęstym, otwartym terenie. Ogólny ołówek podobnie sparametryzowany przez punkt w gęstym otworze Grassmanna$G(2,r+1)$ z $2$-wymiarowe podprzestrzenie $H^0(L)$ (gdzie $L$ to pakiet linii).

  3. Zdanie to mówi, że każde „złe” zachowanie wystąpi w ołówku, więc nie musimy się martwić o wielowymiarowe systemy liniowe.

  4. Oni mają na myśli $f,g \in H^0(L)$, więc biorąc liniowe kombinacje $f$ i $g$ daje ołówek.

  5. Płaszczyzna ogólna jest sparametryzowana przez gęsty, otwarty podzbiór odpowiedniego Grassmanna. Transwersalność wynika z faktu, że transwersalność jest warunkiem otwartym.