"Rasyonel" ve "irrasyonel" kelimelerini duyduğunuzda, örneğin, soğukkanlı, amansız analitik Bay Spock ile "Uzay Yolu"ndaki dik başlı, duygusal olarak değişken Dr. "Bones" McCoy arasındaki farkı akla getirebilir. televizyon ve film evreni. Yine de bir matematikçi değilseniz, muhtemelen tamsayılar ile karekökler arasındaki oranları düşünmüyorsunuzdur, aramızdaki matematikçi olmayanları, Queen'in Klingon'da söylenen "Bohemian Rhapsody" şarkısını duyduğumuz kadar şaşkın hissettiren türden şeyler. .
Ancak kelimelerin bazen günlük kullanımdan çok farklı belirli anlamlara sahip olduğu matematik alanında, rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki farkın muhakeme ve mantık ile ham duygusal dürtüler arasında hiçbir ilgisi yoktur.
'Oran' Kelimesini Hatırlayın
Eric D. Kolaczyk , "Rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki farkı hatırlarken tek bir kelime düşünün: oran" diye açıklıyor . Boston Üniversitesi'nde matematik ve istatistik bölümünde profesör ve üniversitenin Rafik B. Hariri Hesaplama ve Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik Enstitüsü'nün direktörüdür .
Kolaczyk bir e-postada, "Eğer bir sayıyı iki tam sayının oranı olarak yazabiliyorsanız (örneğin, 1 bölü 10, -5 bölü 23, 1.543 bölü 10, vb.), o zaman onu rasyonel sayılar kategorisine koyarız," diye açıklıyor Kolaczyk. "Aksi takdirde mantıksız olduğunu söyleriz."
Bir tam sayıyı veya bir kesri - tam sayıların parçaları - bir oran olarak, pay adı verilen bir tam sayının üzerinde payda adı verilen başka bir tam sayı ile ifade edebilirsiniz. Paydayı paya bölersiniz. Bu size 1/4 veya 500/10 (aksi halde 50 olarak da bilinir) gibi bir sayı verebilir.
İrrasyonel sayılar, rasyonel sayıların aksine oldukça karmaşıktır. Wolfram MathWorld'ün açıkladığı gibi , kesirler ile ifade edilemezler ve onları ondalık noktalı bir sayı olarak yazmaya çalıştığınızda , rakamlar hiç durmadan veya bir kalıbı tekrarlamadan devam eder.
Peki ne tür sayılar bu kadar çılgın bir şekilde davranır? Temel olarak, karmaşık şeyleri tanımlayanlar. Belki de en ünlü irrasyonel sayı, bir dairenin çevresinin o dairenin çapına oranını ifade eden, bazen Yunanca p harfi olan π olarak yazılan pi'dir . Matematikçi Steven Bogart'ın bu 1999 Scientific American makalesinde açıkladığı gibi , dairenin boyutu ne olursa olsun, oran her zaman pi'ye eşit olacaktır. İlk denemelerden beripi'yi hesaplamak için yaklaşık 4.000 yıl önce Babilli matematikçiler tarafından yapıldı, birbirini takip eden matematikçi nesilleri, tekrar etmeyen desenlerle daha uzun ve daha uzun ondalık diziler bulmaya devam etti. 2019'da Google araştırmacısı Hakura Iwao, bu Cnet makalesinin ayrıntılarına göre pi'yi 31.415.926.535.897 haneye çıkarmayı başardı .
Bazen, bir karekök - yani, kendisiyle çarpıldığında, başladığınız sayıyı üreten bir sayının çarpanı - irrasyonel sayıdır, eğer tam sayı olan tam bir kare değilse, örneğin 4, karekök gibi of 16. En göze çarpan örneklerden biri, 2'nin karekökü olup 1.414 artı tekrarlanmayan sonsuz bir rakam dizisine eşittir. Bu değer, ilk olarak eski Yunanlılar tarafından Pisagor teoreminde tanımlandığı gibi, bir kare içindeki köşegenin uzunluğuna karşılık gelir .
Neden 'Rasyonel' ve 'Mantıksız' Kelimelerini Kullanıyoruz?
Neden onlara rasyonel ve irrasyonel diyoruz? Bu biraz bulanık gibi. Kolaczyk, "Gerçekten de 'rasyonel' kelimesini daha çok akla veya benzer bir şeye dayalı olarak ifade etmek için kullanıyoruz" diyor. "Matematikte kullanımı İngiliz kaynaklarında 1200'lerde ortaya çıkmış gibi görünüyor (Oxford İngilizce Sözlüğüne göre). Hem 'rasyonel' hem de 'oran'ı Latin köklerine kadar takip ederseniz, her iki durumda da kök, genel olarak 'akıl yürütme' ile ilgilidir."
Daha açık olan şey, uygarlığın ilerlemesinde hem rasyonel hem de irrasyonel sayıların önemli roller oynamış olmasıdır. Matematik öğretmeni ve "Aptallar İçin" serisinde 10 kitap yazan yazar Mark Zegarelli , dilin muhtemelen insan türünün kökenine kadar uzandığını, sayıların çok daha sonra ortaya çıktığını açıklıyor . Avcı-toplayıcıların, miktarları kabaca tahmin etme ve karşılaştırma yeteneği dışında muhtemelen çok fazla sayısal kesinliğe ihtiyaç duymadıklarını söylüyor.
Zegarelli, "Artık elmamız yok" gibi kavramlara ihtiyaçları vardı. "Tam olarak 152 elmamız olduğunu bilmelerine gerek yoktu."
Ancak insanlar çiftlikler kurmak, şehirler kurmak ve malları imal edip ticaretini yapmak için araziler oluşturmaya başladıkça, evlerinden daha uzağa seyahat ederken, daha karmaşık bir matematiğe ihtiyaç duydular.
Kolaczyk, "Diyelim ki, en yüksek noktasındaki tabandan çıkışla aynı uzunlukta bir çatıya sahip bir ev inşa ediyorsunuz" diyor. "Çatı yüzeyinin kendisinin yukarıdan dış kenara uzanan uzunluğu ne kadardır? Her zaman yükselişin 2'nin karekökünün bir faktörüdür. Ve bu da irrasyonel bir sayıdır."
Carrie Manore'a göre, teknolojik olarak gelişmiş 21. yüzyılda irrasyonel sayılar çok önemli bir rol oynamaya devam ediyor . Los Alamos Ulusal Laboratuvarı'ndaki Bilgi Sistemleri ve Modelleme Grubunda bir bilim adamı ve matematikçidir .
Manore, e-posta yoluyla "Pi, hakkında konuşulacak ilk irrasyonel sayıdır" diyor. "Dairelerin alanını ve çevresini belirlemek için buna ihtiyacımız var. Açıları hesaplamak için kritik öneme sahip ve açılar da navigasyon, bina, ölçme, mühendislik ve daha fazlası için kritik öneme sahip. Radyo frekansı iletişimi, pi'yi içeren sinüs ve kosinüslere bağlıdır ." Ek olarak, irrasyonel sayılar, yüksek frekanslı hisse senedi ticaretini, modellemeyi, tahminleri ve çoğu istatistiksel analizi mümkün kılan karmaşık matematikte önemli bir rol oynar - tüm faaliyetlerimiz toplumumuzu uğultu tutar.
Liste devam edebilir. "Aslında, modern dünyamızda, bunun yerine irrasyonel sayılar nerede KULLANILMAZ?" diye sormak neredeyse mantıklıdır. diyor Manore.
Şimdi Bu İlginç
Manore, "Hesaplama olarak, "neredeyse her zaman sorunları çözmek için bu irrasyonel sayıların yaklaşımlarını kullanıyoruz" diye açıklıyor. " Bilgisayarlar yalnızca belirli bir kesinlikte hesaplayabildiğinden, bu yaklaşımlar rasyoneldir. İrrasyonel sayılar kavramı bilim ve mühendislikte her yerde bulunurken, aslında pratikte hiçbir zaman gerçek bir irrasyonel sayı kullanmadığımız iddia edilebilir."
