Quando senti le parole "razionale" e "irrazionale", potrebbe farti venire in mente la differenza tra, per esempio, il signor Spock, freddo e inesorabilmente analitico, e il dottor "Bones" McCoy, testardo ed emotivamente instabile, in "Star Trek" universo televisivo e cinematografico. A meno che tu non sia un matematico , probabilmente non pensi ai rapporti tra numeri interi e radici quadrate, il genere di cose che fa sentire i non matematici tra noi confusi come quando sentiamo "Bohemian Rhapsody" dei Queen cantata in Klingon .
Ma nel regno della matematica, dove le parole a volte hanno significati specifici che sono molto diversi dall'uso quotidiano, la differenza tra numeri razionali e irrazionali non ha nulla a che fare con il ragionamento e la logica rispetto a impulsi emotivi crudi.
Ricorda la parola "rapporto"
"Nel ricordare la differenza tra numeri razionali e irrazionali, pensa a una parola: rapporto", spiega Eric D. Kolaczyk . È professore nel dipartimento di matematica e statistica dell'Università di Boston e direttore del Rafik B. Hariri Institute for Computing and Computational Science & Engineering dell'università .
"Se puoi scrivere un numero come rapporto di due interi (ad es. 1 su 10, -5 su 23, 1.543 su 10, ecc.), lo inseriamo nella categoria dei numeri razionali", spiega Kolaczyk in un'e-mail. "Altrimenti, diciamo che è irrazionale."
Puoi esprimere un numero intero o una frazione - parti di numeri interi - come rapporto, con un numero intero chiamato numeratore sopra un altro numero intero chiamato denominatore. Dividi il denominatore nel numeratore. Questo può darti un numero come 1/4 o 500/10 (altrimenti noto come 50).
I numeri irrazionali, in contrasto con i numeri razionali, sono piuttosto complicati. Come spiega Wolfram MathWorld , non possono essere espressi da frazioni e quando provi a scriverli come un numero con un punto decimale , le cifre continuano ad andare avanti e indietro, senza mai fermarsi o ripetere uno schema.
Quindi che tipo di numeri si comportano in modo così folle? Fondamentalmente, quelli che descrivono cose complicate. Forse il numero irrazionale più famoso è pi — a volte scritto come π, la lettera greca per p — che esprime il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il diametro di quel cerchio. Come ha spiegato il matematico Steven Bogart in questo articolo di Scientific American del 1999, quel rapporto sarà sempre uguale a pi, indipendentemente dalle dimensioni del cerchio. Fin dai primi tentativiper calcolare pi sono stati eseguiti da matematici babilonesi quasi 4.000 anni fa, generazioni successive di matematici hanno continuato a tamponare e inventare stringhe decimali sempre più lunghe con schemi non ripetuti. Nel 2019, il ricercatore di Google Hakura Iwao è riuscito a estendere il pi greco a 31.415.926.535.897 cifre, come descritto in dettaglio in questo articolo di Cnet .
A volte, una radice quadrata , cioè un fattore di un numero che, moltiplicato per se stesso, produce il numero con cui hai iniziato, è un numero irrazionale, a meno che non sia un quadrato perfetto che è un numero intero, come 4, la radice quadrata di 16. Uno degli esempi più evidenti è la radice quadrata di 2 , che risulta 1,414 più una stringa infinita di cifre non ripetute. Tale valore corrisponde alla lunghezza della diagonale all'interno di un quadrato, come descritto per la prima volta dagli antichi greci nel teorema di Pitagora .
Perché usiamo le parole "razionale" e "irrazionale"?
Perché li chiamiamo razionali e irrazionali? Sembra essere un po' torbido. "In effetti, in genere usiamo 'razionale' per indicare qualcosa di più simile basato sulla ragione o simile", afferma Kolaczyk. "Il suo uso in matematica sembra essere emerso già nel 1200 nelle fonti britanniche (secondo l'Oxford English Dictionary). Se fai risalire sia 'razionale' che 'rapporto' alle loro radici latine, scopri che in entrambi i casi il root riguarda il 'ragionamento' in senso lato".
Ciò che è più chiaro è che sia i numeri razionali che quelli irrazionali hanno svolto un ruolo importante nell'avanzamento della civiltà. Mentre il linguaggio risale probabilmente all'origine della specie umana, i numeri sono arrivati molto più tardi, spiega Mark Zegarelli , insegnante di matematica e autore che ha scritto 10 libri della serie "For Dummies". I cacciatori-raccoglitori, dice, probabilmente non avevano bisogno di molta precisione numerica, a parte la capacità di stimare e confrontare approssimativamente le quantità.
"Avevano bisogno di concetti come 'non abbiamo più mele'", dice Zegarelli. "Non avevano bisogno di sapere, 'abbiamo esattamente 152 mele.'"
Ma quando gli umani iniziarono a ritagliarsi appezzamenti di terra per creare fattorie, erigere città e produrre e commerciare merci, allontanandosi dalle loro case, avevano bisogno di una matematica più complessa.
"Supponiamo di costruire una casa con un tetto per il quale l'alzata abbia la stessa lunghezza della rampa dalla base nel punto più alto", dice Kolaczyk. "Quanto è lungo il tratto di superficie del tetto stesso dall'alto al bordo esterno? Sempre un fattore della radice quadrata di 2 dell'alzata (corsa). E anche questo è un numero irrazionale."
Nel 21° secolo tecnologicamente avanzato, i numeri irrazionali continuano a svolgere un ruolo cruciale, secondo Carrie Manore . È una scienziata e una matematica nell'Information Systems and Modeling Group del Los Alamos National Laboratory .
"Pi è un ovvio primo numero irrazionale di cui parlare", dice Manore via e-mail. "Ci serve per determinare l'area e la circonferenza dei cerchi. È fondamentale per calcolare gli angoli e gli angoli sono fondamentali per la navigazione, la costruzione, il rilevamento, l'ingegneria e altro ancora. La comunicazione in radiofrequenza dipende da seni e coseni che coinvolgono pi". Inoltre, i numeri irrazionali svolgono un ruolo chiave nella complessa matematica che rende possibile la compravendita di azioni ad alta frequenza, la modellazione, la previsione e la maggior parte delle analisi statistiche, tutte attività che mantengono attiva la nostra società.
L'elenco potrebbe continuare. "In effetti, nel nostro mondo moderno, ha quasi senso invece chiedersi, dove NON vengono usati i numeri irrazionali?" dice Manore.
Ora è interessante
Dal punto di vista computazionale, "stiamo quasi sempre effettivamente utilizzando approssimazioni di questi numeri irrazionali per risolvere i problemi", spiega Manore. " Queste approssimazioni sono razionali poiché i computer possono calcolare solo con una certa precisione. Sebbene il concetto di numeri irrazionali sia onnipresente nella scienza e nell'ingegneria, si potrebbe sostenere che in realtà non stiamo mai utilizzando un vero numero irrazionale in pratica".
