Czy homomorfizmy zachowują porządek podgrup?

Aug 15 2020

Czytałem, że jedyny możliwy homomorfizm z $\mathbb{Z}_7$ do $\mathbb{Z}_{12}$ jest tym, który odwzorowuje wszystkie elementy $\mathbb{Z}_7$ do $\{0\}$. Ponieważ jeśli istnieje inny homomorfizm z$\mathbb{Z}_7$ do $\mathbb{Z}_{12}$, musi być w stanie odwzorować każdą nietrywialną podgrupę plików $\mathbb{Z}_7$, do podgrupy $\mathbb{Z}_{12}$. To jednak oznacza, że$\mathbb{Z}_{12}$ miałby podgrupę porządku $7$co jest niemożliwe.

Wydaje mi się, że z powyższego stwierdzenia wynika, że ​​homomorfizmy zachowują kolejność podgrup ... ale czy ogólnie jest to prawdą?

Odpowiedzi

1 Tan Aug 15 2020 at 15:11

Ogólnie nie jest to prawdą. Pozwolić$f: \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_6$ podane przez $f(x)=2x$. Mapa$f$ jest wyraźnie homomorfizmem, ale nie zachowuje porządku samej grupy.

Myślę, że to stwierdzenie oznacza, ponieważ tylko podgrupy $\mathbb Z_7$$\{0\}$ a sama grupa jest jądrem każdego nietrywialnego homomorfizmu $\{0\}$a więc każdy nietrywialny homomorfizm jest iniekcyjny. To znaczy$\mathbb Z_7$ jest izomorficzny z własnym obrazem, ale nie może się to zdarzyć, ponieważ obraz homomorfizmu jest podgrupą $\mathbb Z_{12}$ a ta grupa nie ma podgrupy porządku $7$.