Czy jest więcej niż jedna pseudo-katalońska bryła?
To pytanie zostało zadane na MSE rok temu. Motywację do tego pytania można znaleźć w innych pytaniach MSE tutaj , tutaj lub tutaj .
Bryły wypukłe mogą mieć różne rodzaje symetrii:
bryły platońskie są przechodnie przez wierzchołki i ściany, co oznacza, że istnieje podgrupa obrotów trójwymiarowej przestrzeni, która może przenosić dowolny wierzchołek na inny (i to samo w przypadku ścian). Lista jest ograniczona do 5 brył platońskich.
przechodnie (lub izoedryczne) bryły powierzchniowe obejmują katalońskie bryły, (nieskończoną rodzinę) dipiramidów i (nieskończoną rodzinę) trapezoedrów. Należy zauważyć, że bez dalszych ograniczeń te bryły mogą występować w nieskończonych rodzinach: rombowy dwunastościan ma nieskończoną liczbę krewnych naramiennych (patrz dwunastościan deltoidalny ); pasuje również do jednoparametrowej rodziny dwunastościanów zwanych pyritoedrami ; dwunastościan i czworościan triakis pasują do jednoparametrowej rodziny zwanej tetartoidem ; dipiramidy i trapezoedry również dopuszczają wszelkiego rodzaju deformacje poza liczbą ścian.
istnieje dużo słabsza symetria, o którą można prosić. Nazwijmy to pseudo-katalońskim (z braku lepszej nazwy). Napraw „środek”$C$. Wypukła bryła jest pseudo-katalońska, jeśli każda ściana może zostać wysłana na inną ścianę przez obrót ze środkiem$C$ lub odbicie (którego płaszczyzna przechodzi $C$). Zauważ, że nie ma wymogu, aby ten obrót (+ odbicie) zachowywał całą bryłę. Przykładem takiego ciała stałego, które nie jest katalońskim ciałem stałym, jest wirowany naramienny dwudziestościan .
Pytanie: czy istnieje lista ciał stałych, które są pseudokatalońskie, ale nie katalońskie? [Bardziej desperacko: czy jest jakaś taka bryła obok wirującego naramiennego dwudziestościanu?]
- zauważ, że istnieje ostatnia kategoria, w której bryła jest wypukła, a wszystkie ściany są przystające (wypukła bryła monoedryczna). Różnica w stosunku do poprzedniej kategorii polega na tym, że tłumaczenia są teraz dozwolone. W szczególności, aby sprawdzić, czy bryła należy do poprzedniej kategorii, do wyboru$C$(oraz fakt, że wszystkie obroty i odbicia są ograniczone przez ten punkt) jest ważny. Przykładami takich ciał stałych są potrójny trójkątny pryzmat i wydłużona żyroskopowo kwadratowa dipiramida .
Odpowiedzi
To tylko szczegółowa wersja komentarzy.
Jak zauważył M. Winter , istnieje rodzina wielościanów z$4k$- twarze pasujące do rachunku ($k=5$jest dwudziestościanem). Oto zdjęcie obudowy$k=4$ i $k=6$.
Zacznij od antypryzmatu nad $k$-gon (powiedz niższy $k$-gon ma wierzchołki ze współrzędną $(e^{i \pi (2j+1)k},0)$ i górne wierzchołki $(e^{i \pi 2j k},h)$ gdzie $0 \leq j <k$ i $h$jest liczbą rzeczywistą; Używam liczb zespolonych dla$x$ i $y$współrzędne). Przyklej do każdego piramidę$k$-gon (czubki piramid znajdują się na $(0,0,s)$ i $(0,0,h -s)$. Centrum$C$ jest w $(0,0,\tfrac{h}{2})$.
Aby trójkąty były przystające, można pisać $h$ jako funkcja $s$ (jego $h = \tfrac{ 2\cos(\pi/k)-1+s^2}{2s}$). Jeśli$k>3$, wymagając, aby każda twarz znajdowała się w tej samej odległości od $C$ (to znaczy $C$ będzie środkiem inspekcji) ustali wartość $s$ (jego $=\sqrt{2\cos(\pi/k)+1}$). Punkt ścian, który minimalizuje odległość do$C$ są [raczej, wydają się] środkiem okręgu opisanego trójkątów (tylko sprawdzone $k=4,6$ i $7$ [Byłem zbyt leniwy, żeby zrobić algebrę dla generała $k$]).
Stąd wynika, że te ciała stałe są pseudokatalońskie (nie mogą być katalońskie [jeśli $k \neq 5$], ponieważ wierzchołki wierzchołków piramid mają stopnie $k$ podczas gdy inne wierzchołki mają stopień 5. Stąd nie ma globalnej symetrii, która przesyła twarz z piramid do antypryzmu.
Byłbym skłonny wierzyć, że te bryły są w większej rodzinie z trójkątami skalenicznymi. Podobny konstrukt oparty na trapezoedrach (zamiast dipiramidów) byłby fajny (ale w tej chwili nie mam pojęcia, jak to zrobić).
EDYCJA: sprawa $k=3$jest pojedyncza: jeśli zmusisz płaszczyzny twarzy do dotknięcia wdechu, otrzymasz trapezoedr (którego twarze są rombami, tzn. trójkąty piramidy są idealnie dopasowane do tych z antypryzmatu). Jeśli dalej użyjesz pozostałego parametru, aby najbliższy punkt$C$ jest taka sama na każdej [trójkątnej] ścianie, w rzeczywistości daje sześcian (!).
Oto kolejny (i miejmy nadzieję, prostszy) przykład (choć definitywnie nie jest to pełna lista możliwych ciał stałych). Weź$k$-dipiramid (wierzchołki równikowe mają $xy$- współrzędne, które są $k^\text{th}$-korzenie jedności i $z=0$). Niech końce piramid będą na wysokości$(0,0,\pm 1)$. Kiedy$k$ jest równy (tak $k \geq 4$), można przeciąć tę piramidę wzdłuż płaszczyzny, która przechodzi przez wierzchołki i korzenie jedności $\pm 1$. To przecina dwupiramidę wzdłuż kwadratu. Teraz obróć jeden z dwóch elementów o 90 ° i wklej je z powrotem. Powstałe ciała stałe (które, jak zakładam, powinny być nazwane dipiramidami bezwładnościowymi) spełniają wymagane warunki.
Aby zobaczyć, że nie są to katalońskie bryły (chyba że $k=4$czyli po prostu wziąć oktaedera, przeciąć go i złożyć z powrotem), po prostu zauważ, że istnieją dwa rodzaje twarzy: te, które dotykają kwadratu, na którym nastąpiło klejenie, i inne.
Oto kilka zdjęć dla $k=6$ i $k=8$.
