Czy naprawdę nie ma odpowiednika reguły iloczynu pochodnego dla całek, czy po prostu jeszcze go nie znaleźliśmy?

Question

W przypadku reguły iloczynu dla całek nie mówię o całkowaniu przez części. Ta konkretna formuła wykorzystuje całkę produktów wewnątrz samej formuły. Reguła pochodnej iloczynu nie używa pochodnej iloczynu wewnątrz formuły. Nigdy nie widziałem książki, która udowadnia, że ​​w rzeczywistości nie ma analogicznego wzoru na całkę iloczynu. Niektóre książki dowodzą, że nie ma wzoru na pierwiastki ogólnej funkcji wielomianu 5 stopnia lub wyższego. Czy ktoś może udowodnić, że nie ma takiego wzoru na całkę iloczynu? Jest wzór na całkę sumy, więc może ktoś odkryje, że istnieje wzór na całkę iloczynu. Przepraszam, jeśli moje pojęcie formuły nie jest wystarczająco precyzyjne, ale może istnieje książka, która precyzyjnie definiuje, czym jest formuła.

Answer 1

Myślałem, że już tu jest takie pytanie, ale go nie znalazłem.

Jak mówią komentarze, nie ma prostego wzoru $\int f g dx$ pod względem $\int f dx$ i $\int g dx$. Można to zobaczyć na wiele sposobów.

(ZA) $$ \int x\;dx\quad\text{and}\quad \int\frac{1}{x^2}\;dx\quad \text{are rational functions, but}\quad \int\frac{1}{x}\;dx\quad\text{is not} . $$ (B) $$ \int x e^{x^2}\;dx\quad\text{and}\quad \int\frac{1}{x}\;dx\quad \text{are elementary functions, but}\quad\int e^{x^2}\;dx\quad\text{is not} . $$ Wymyślasz, co oznacza „prosta formuła”, a następnie powinien istnieć przykład podobny do tego, w którym używa się pojęcia „prosta formuła”.

Answer 2

Jeśli szukamy jakiegoś dowolnego $f(x)$ i $g(x)$, istnieją tylko 2 połączone pochodne, które zawierają iloczyn tych funkcji (i ich poszczególnych pochodnych): reguła ilorazu i reguła iloczynu. Jak widać, nie dzielimy$g^2(x)$, skupmy się na regule iloczynu: $$\frac{d}{dx}\left(f(x)g(x)\right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Całka (nieokreślona) reprezentuje anty-pochodną funkcji, którą można opisać jako: Znajdź funkcję, która jeśli jest zróżnicowana $x$zwraca funkcję wewnątrz całki. Jeśli mam rację, chcesz znaleźć sposób, który pozwoli nam obliczyć całkę o następującym kształcie:$$\int f(x)g(x)dx$$jako funkcja bez zintegrowanego produktu obu terminów. Niestety, jeśli spojrzymy na definicję reguły iloczynu, można zauważyć 2 rzeczy: Po pierwsze są 2 produkty i oba zawierają oba$f(x)$ i $g(x)$lub ich pochodne. Dlatego zawsze utkniesz z następującą odliczeniem:$$f(x)g(x) = \int f'(x)g(x)dx + \int f(x)g'(x)dx$$ $$f(x)g(x)- \int f(x)g'(x)dx = \int f'(x)g(x)dx$$ Co równa się zasadzie całkowania przez części i nie usuwa całki iloczynu w jej równaniu.