Dlaczego mamy $\hbar$ w relacji komutacyjnej?
Pomyślmy o stałej Plancka jako o nachyleniu relacji dyspersji pola elektromagnetycznego, $E=\hbar \omega$. Stała Plancka nie jest niezależna od ładunku elektronu, oba można przeskalować, o ile stała drobnej struktury pozostaje niezmieniona. Mimo to często wygodnie jest używać obu.
Kiedy zaczynamy uczyć się QM, na długo przed przejściem do QED, uczymy się, że stała Plancka pojawia się jako wielokrotność $i$w kanonicznej relacji kwantyzacji. Czemu??
Nie zrozumcie mnie źle, nie mam nic przeciwko temu, że pojawia się w badaniach oscylatora. Mogłaby to być po prostu wielkość wymiarowa, w odniesieniu do której wyrażane są inne wielkości mające te same jednostki.
Ale zazwyczaj słyszymy coś zupełnie innego. W duchu „tej liczby$\hbar$ w $[q,p]=i\hbar$ jest stałą Plancka, której wartość wynosi ... i wyznacza skalę, w której fizyka zaczyna być kwantowa ”.
Wyobraź sobie świat bez QED, tylko z silnie oddziałującymi kwarkami i gluonami. Jaką liczbę wpisaliby w relację komutacyjną podczas nauczania studentów?
Odpowiedzi
To pytanie ilustruje jedno z podstawowych wyzwań w nauczaniu fizyki. Najpierw musimy nauczyć się łatwiejszych rzeczy, ponieważ jesteśmy ludźmi, ale jest to w bezpośrednim konflikcie z pragnieniem uczenia się rzeczy w logicznie jasnej kolejności (najpierw najgłębsze aksjomaty, a wszystko inne na zawsze wyprowadza z nich).
Uczymy się $E=\hbar\omega$najpierw dla fotonów, bo tak jest łatwiej. Następnie uczymy się nierelatywistycznej QM, a następnie QED. Ale powód pojawienia się tej samej stałej$\hbar$ zarówno $E=\hbar\omega$ (dla fotonów) i w $[q,p]=i\hbar$ nierelatywistyczna QM (która nie ma fotonów) pochodzi z QED!
Oto możliwe rozwiązanie w tym konkretnym przypadku: po tym, jak uczniowie się tego nauczą $E=\hbar\omega$w przypadku fotonów zwróć uwagę, że jest to szczególny przypadek relacji, która działa dla cząstek o dowolnej masie, a nie tylko bezmasowych. W szczególności ta sama relacja zachodzi dla masywnych cząstek w nierelatywistycznej QM. Teraz, po wprowadzeniu kilku podstaw na temat nierelatywistycznego zarządzania jakością, możemy ogłosić, że współczynnik$\hbar$ tak naprawdę pochodzi z relacji komutacyjnych, a następnie możemy im pokazać, jak wyprowadzić rzeczywistość $E=\hbar\omega$ z tego głębszego powodu (dla masywnych cząstek).
Zanim uczniowie będą gotowi do nauczenia się nierelatywistycznego zarządzania jakością, powinni być już zaznajomieni z ogólnym faktem, że sekwencja łatwiejszych rzeczy jest często inna niż sekwencja logicznie przejrzysta, dlatego powinni być otwarci na zmianę kolejności pogląd na to, skąd „pochodzi” stała Plancka, kiedy uczą się nierelatywistycznego zarządzania jakością. A kiedy uczniowie zobaczą, jak współczynnik$\hbar$ w $E=\hbar\omega$ wynika z relacji komutacyjnych w nierelatywistycznym QM, powinni być otwarci na myśl, że coś podobnego może być bardziej ogólnie prawdziwe, więc powinni być otwarci na takie stwierdzenie:
Później, kiedy dowiesz się o relatywistycznej QED, zobaczysz tę zależność $E=\hbar\omega$ dla fotonów ma swój współczynnik $\hbar$ z tego samego źródła: relacje komutacyjne.
Nie jest to idealne rozwiązanie, ponieważ studenci mogą założyć, że „relacje komutacyjne” oznaczają „między obserwowalną pozycją a obserwowalnym pędem”, co w QED jest nieprawdą. Ten problem ma jednak również proste rozwiązanie, którego dziwnie brakuje w standardowym programie nauczania: po nauczaniu nierelatywistycznej QM, a przed nauczaniem QED, naucz nierelatywistycznej QFT! Nierelatywistyczny QFT jest wielkim pomostem pedagogicznym z wielu powodów i to jest jeden z tych powodów. Korzystając z nierelatywistycznej QFT, gdzie matematyka jest łatwa, możemy pokazać uczniom, w jaki sposób relacja komutacji położenia i pędu powstaje z relacji komutacji pole-pole. Stamtąd dowiadujemy się, dlaczego nie możemy skonstruować operatora pozycji ścisłej w przypadku relatywistycznym - i dlaczego nadal możemy to uzyskać$E=\hbar\omega$ bezpośrednio z relacji komutacji pole-pole - powinien być stosunkowo łatwym krokiem koncepcyjnym.
Nie zależy to konkretnie od QED, ale jest konsekwencją ogólnej właściwości mechaniki kwantowej, że pęd jest sprzężeniem Fouriera położenia lub alternatywnie z rozwiązania równania Schrodingera. W jednostkach naturalnych transformata Fouriera zawiera termin$e^{ix\cdot p}$. Wynika z tego, że naturalnymi jednostkami pędu są 1 / [długość] i podobnie naturalnymi jednostkami energii są 1 / [czas]. Tak jak teoria względności pokazuje, że naturalne jednostki odległości są tym samym, co jednostka czasu ($c=1$), mechanika kwantowa pokazuje, że naturalne jednostki energii są $\mathrm s^-1$. Innymi słowy,$\hbar$jest po prostu stałą konwersji między naturalnymi jednostkami a energią (lub masą). Znajduje to odzwierciedlenie w aktualnej definicji kilograma w układzie SI , wyrażonej jako stała Plancka.