Dlaczego naprawdę działa operacja $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ to jest grupa?
Powyższa operacja jest grupą liczb rzeczywistych, ponieważ 0 jest elementem tożsamości, a minus dowolnej liczby rzeczywistej jest jej odwrotnością, co można zaobserwować w trywialny sposób. Łączność jest mniej trywialna, ale utrzymuje się.
W rzeczywistości, jeśli podstawimy 3 za dowolną liczbę nieparzystą (5, 7 ...), operacja spełnia właściwości grupy. Jednak każda parzysta liczba zawodzi.
Czy jest jakaś geometryczna / analityczna / ... interpretacja, dlaczego taka operacja jest podobna $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ jest asocjacyjna iw konsekwencji nadaje rzeczywistemu strukturę grupy?
Odpowiedzi
Pozwolić $G$ być jakąkolwiek grupą, $X$ być dowolnym zestawem i $f: X \rightarrow G$być jakimkolwiek bijection. Następnie możemy przenieść strukturę grupy z$G$ do $X$ przez ustawienie $x \cdot y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))$. Oznacza to, że używamy bijekcji$f$ do identyfikacji elementów $G$ i elementy $X$i włącz strukturę grupy $X$za pomocą tej identyfikacji. Zostawię to jako ćwiczenie, w którym to rzeczywiście definiuje strukturę grupy$X$.
Teraz weź $G=(\mathbb R,+)$, $X=\mathbb R$ i $f(x)=x^3$ aby odzyskać sprawę.
Gdyby $f$ jest jakikolwiek dziwny bijekcja liczb rzeczywistych, a następnie operacja
$$x\cdot y=f^{-1}(f(x)+f(y))$$
tworzy grupę i $f$izomorfizm z addytywnej grupy liczb rzeczywistych do tej grupy. W Twoim przypadku$f(x)=x^3$. Kojarzenie wynika z tego, że$f$ jest homomorfizmem. $0$ jest elementem neutralnym i $-x$ jest odwrotnością $x$. Tutaj fakt, że$f$ jest dziwne.
Z powodu arbitralnego uprzedzenia$f\colon \mathbf R \to \mathbf R$, operacja $x*y = f^{-1}(f(x) + f(y))$ jest prawem grupowym dotyczącym $\mathbf R$. Wszystko to mówi, że jeśli zmienisz nazwę każdej liczby rzeczywistej$x$ tak jak $f(x)$ następnie możesz przekonwertować oryginalne prawo grupowe $+$ do prawa grupowego $*$ po to aby $f$ jest izomorfizmem z $(\mathbf R, *)$ do $(\mathbf R,+)$. Intuicja jest algebraiczna, a nie geometryczna. Nie ma w tym nic magicznego$n$th korzenie dla dziwnych $n$ inne niż bycie bijekcją.
Hiperboliczna funkcja styczna $\tanh \colon \mathbf R \to (-1,1)$ to bijection, który umożliwia transport dodatku $\mathbf R$ do ustawy grupowej w sprawie $(-1,1)$która jest używana w szczególnej teorii względności (dodawanie prędkości w ruchu jednowymiarowym). Odwrotność tego bijekcji, aż do współczynnika skalującego, nazywana jest w fizyce „szybkością”.
Krótka odpowiedź: ponieważ $\sqrt{x^2}\ne x$ dla $x<0$.
Długa odpowiedź, w której wolę $\cdot$ do $\bullet$:
Operacja satysfakcjonująca $(x\cdot y)^n=x^n+y^n$ zamyka rzeczywiste, ponieważ jeśli $n$ to dziwne, że możemy wziąć $n$th root, & if $n$ czy nawet my tylko próbujemy wziąć $n$korzeń czegoś $\ge0$. I od tego czasu$$((x\cdot y)\cdot z)^n=(x\cdot y)^n+z^n=x^n+y^n+z^n=(x\cdot(y\cdot z))^n,$$współpracownicy operacji. (Anulowanie mocy$n$ jest trywialne, ponieważ, nawet jeśli $n$ jest równa, $\cdot$ jest zawsze definiowana jako nieujemna $n$W każdym razie root.) Więc przynajmniej tworzymy półgrupę.
Od $x\cdot0=(x^n)^{1/n}$, dla dziwnych $n$ mamy też $0$ jako tożsamość, ale nawet $n$ my nie, ponieważ $x\cdot0=|x|$, więc nie jest to nawet monoid, nie mówiąc już o grupie . Ostatni aksjomat grupowy to odwrotności, które działają na nieparzyste$n$ jak zauważyłeś, ale nawet $n$ mamy $x\cdot y\ge|x|$, więc nie mamy też odwrotności.
Wskazówka :
Kojarzenie wynika po prostu z tego, że jedno i drugie $\;(x\bullet y)\bullet z$ i $\;x\bullet( y \bullet z)$ są równe $$\sqrt[\substack{\,\scriptstyle3\\}]{x^3 +y^3+z^3}.$$