Dowód, że jeśli różnica terminów dwóch zbieżnych sekwencji jest zerowa, to granica sekwencji jest równa

Aug 16 2020

Propositon: Biorąc pod uwagę, że rzeczywiste sekwencje $\{a_n\}$ i $\{b_n\}$ są zbieżne i to $\{a_n - b_n \}$ jest zatem sekwencją zerową $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$

To była moja próba:

Oznaczać $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ i $\lim_{n \to\infty} b_n = m$. Przypuszczać$m \neq n$. Przypuszczać$\epsilon = \frac{l-m}{2}$. Dzięki konwergencji$\{a_n\}$ i $\{b_n\}$i używając określonej wartości epsilon, dla wystarczająco dużych $n$ mamy to $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$, i $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$. Z tego mamy

$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$

Ale przez gęstość $\mathbb{R}$istnieje kilka $r \in \mathbb{R}$ takie że $a_n - b_n > r$ za dostatecznie duże $n$. Ale to przeczy temu faktowi$\{a_n - b_n\}$ jest więc sekwencją zerową $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$

Interesuje mnie sprawdzenie, czy istnieje dowód (i mam nadzieję, że również weryfikacja, że ​​moja jest poprawna!), Która nie polega na wydedukowaniu sprzeczności z założenia $l \neq m$. To frustrujące wydaje się być jednym z tych „oczywistych” stwierdzeń, których kiedy piszę zgodnie z logiką pierwszego rzędu, trudno mi udowodnić. W szczególności nie mogłem znaleźć sposobu, aby zrobić to bezpośrednio.

Odpowiedzi

2 BrianM.Scott Aug 16 2020 at 02:41

Dowód sprzeczności jest tutaj najbardziej naturalnym podejściem. Intuicja jest prosta: jeśli sekwencje mają różne granice, ostatecznie muszą być blisko tych granic, a zatem nie mogą być blisko siebie.

Można to jednak zrobić trochę łatwiej. Pozwolić$\epsilon=\frac13|\ell-m|$. Tam jest$n_0\in\Bbb N$ takie że $|a_n-\ell|<\epsilon$ i $|b_n-m|<\epsilon$ kiedy tylko $n\ge n_0$. Ale wtedy

$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$

dla wszystkich $n\ge n_0$, więc

$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$

dla wszystkich $n\ge n_0$, zaprzeczając założeniu, że $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ jest sekwencją zerową.

Twój argument ma pewne problemy. Po pierwsze, wydaje się, że to zakładasz$\ell>m$; nie ma rzeczywistej utraty ogólności, jeśli przyjmiesz takie założenie, ale przynajmniej musisz powiedzieć, że to robisz. Najwyraźniej też na końcu to zakładasz$a_n-b_n$jest pozytywna, co nie musi mieć miejsca. Wreszcie, co najważniejsze, w rzeczywistości nie przedstawiłeś żadnego uzasadnienia dla twierdzenia, że ​​istnieje rzeczywistość$r$ takie że $a_n-b_n>r$ za dostatecznie duże $n$: to faktycznie dotyczy $|a_n-b_n|$ i niektóre pozytywne $r$, ale nie ma to nic wspólnego z gęstością $\Bbb R$.