$\ell^1$ funktor jako lewy łącznik z funktorem kulowym jednostkowym
W komentarzu do tej odpowiedzi
https://mathoverflow.net/a/38755/1106
Yemon Choi zauważa, że „The $\ell^1$ funktor jest funktorem swobodnej przestrzeni Banacha, po lewej stronie połączonej z funktorem kuli jednostkowej ".
To stwierdzenie jest dla mnie intrygujące, ale nie jestem do końca pewien, o jakich kategoriach i funktorach mówi tutaj Yemon. Wyobrażam sobie, że mamy kategorię przestrzeni Banacha (z jaką mapą?) Po jednej stronie, ale co z drugą? Jeśli ktoś może tu wpisać szczegóły, byłbym bardzo zadowolony. Ponadto, jeśli ktoś ma odniesienia do tekstu analizy funkcjonalnej, który przyjmuje tę perspektywę, również byłbym zadowolony z tej odpowiedzi.
Odpowiedzi
Chcesz wziąć kategorię $\text{Ban}_1$przestrzeni Banacha i krótkie mapy (mapy liniowe normy operatora$\le 1$). Funktor kulkowy jednostkowy$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ jest reprezentowany przez $\mathbb{C}$, a jego lewy łącznik wysyła zestaw $S$ do koproduktu $S$ kopie $\mathbb{C}$, co okazuje się być $\ell^1(S)$. To mówi, że mamy naturalny bijekcję
$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$
co mówi, że mapa z zestawu $S$ do piłki jednostkowej $U(B)$ przestrzeni Banacha rozciąga się wyjątkowo i swobodnie na krótką mapę $\ell^1(S) \to B$przez „liniowość”.
Mówiąc intuicyjnie, to mówi, że $\ell^1(S)$ jest uzyskiwany z $S$ wymagając, aby każdy element $S$ mieć normę $1$ (tak, że znajduje się w kuli jednostkowej i może wkrótce mapować do dowolnego innego elementu dowolnej innej kuli jednostkowej), a następnie poprosić o liniową kombinację $\sum c_s s$mają największą możliwą normę zgodną z tą (tak, że można ją wkrótce odwzorować na dowolną inną taką kombinację liniową w dowolnej innej przestrzeni Banacha). Mamy$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ przez nierówność trójkąta i $\ell^1$ norma jest w tym przypadku równością.
Ta konstrukcja uogólnia budowę koproduktu w $\text{Ban}_1$, który wygląda tak: if $B_i$ to zbiór przestrzeni Banacha, ich koprodukt w $\text{Ban}_1$ jest uzupełnieniem bezpośredniej sumy przestrzeni wektorowej $\bigoplus_i B_i$ z szacunkiem do "$\ell^1$ norma" $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$.
Przepraszamy za autopromocję, ale omówię bardziej szczegółowo właściwości kategoryczne $\text{Ban}_1$(np. jest kompletna, współkompletna i zamknięta symetryczna monoidalna) w moim poście na blogu Przestrzenie Banacha (i metryki Lawvere'a oraz kategorie zamknięte) . W szczególności staram się motywować do korzystania z krótkich map. Zauważ, że jeśli pracujemy tylko z ograniczonymi mapami liniowymi, nie możemy mieć nadziei na odzyskanie przestrzeni Banacha do izometrii poprzez właściwość uniwersalną, podczas gdy izomorfizmy w$\text{Ban}_1$są izometryczne. Z drugiej strony, język kategoryczny nadal jest w stanie mówić o mapach ograniczonych poprzez strukturę zamkniętą.
Niech Bang (Ban, geometryczny) oznacza kategorię, której obiektami są przestrzenie Banacha i której morfizmami są mapy liniowe, które mają normę $\leq 1$. (Możemy pracować nad rzeczywistymi lub złożonymi skalarami.) Niech Set będzie kategorią, której obiektami są zbiory i której morfizmy są funkcjami.$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$
Jest funktor $\Ball$od Bang do Set, który przypisuje każdej przestrzeni Banacha jej zamkniętą kulę jednostkową; warunek dotyczący morfizmów Bang zapewnia, że każdy$f:X\to Y$ w Bang ogranicza się do funkcji $\Ball(X) \to \Ball(Y)$.
Do czego przyłączyłby się lewy sąsiad $\Ball$wygląda jak? Opisu / charakterystyki możemy użyć w kategoriach obiektów początkowych w kategoriach przecinkowych. Tak więc dla każdego zestawu$S$ chcemy przestrzeni Banacha $F(S)$ i funkcję $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ o następującej właściwości uniwersalnej: kiedy $E$ jest przestrzenią Banacha i $h:S\to \Ball(E)$ jest funkcją, istnieje unikalny morfizm Bang $T: F(S)\to \Ball(E)$ takie że $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ jako funkcje.
Rozwikłanie definicji różnych morfizmów: to, czego potrzebujemy, to każda funkcja $h$ z $S$ do $E$ dogadzający $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ dla wszystkich $j\in S$, powinna istnieć unikalna mapa liniowa $T: F(S) \to E$ takie że $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ dla wszystkich $v\in F(S)$ i $T(\eta_S(j))=h(j)$ dla wszystkich $j\in S$.
Próbując zmotywować rzeczy, zróbmy Ansatz . Definiować$F(S)$ być przestrzenią Banacha $\ell_1(S)$ z jego zwykłą normą $\Vert\quad\Vert_1$; pozwolić$(e_j)_{j\in S}$ oznaczają kanoniczne wektory bazowe w $\ell_1(S)$. Jedyny możliwy kandydat na mapę liniową$T:\ell_1(S) \to E$ jest: zdefiniuj $T(e_j):= h(j)$ dla każdego $j$i rozszerzyć o liniowość i ciągłość. Aby zobaczyć, że to działa, zwróć uwagę na to dla każdego$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ mamy
$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$
Podsumowując: zasadniczo powyższy argument mówi, że ograniczona mapa liniowa z $\ell_1(S)$ do przestrzeni Banacha $E$ definiuje ograniczoną funkcję $S\to E$i odwrotnie, każda ograniczona funkcja $S\to E$ ma unikalne ograniczone wydłużenie liniowe $\ell_1(S)\to E$. (Zwróć uwagę, że ten akapit, który jest sformułowany w języku analityków, a nie w języku kategorii, jest trochę bardziej ogólny, ponieważ nie wymagam, aby wszystko miało normę$\leq 1$; ale ograniczenie się do Bang wydaje się niezbędne, jeśli chce się uzyskać ładne stwierdzenie tego faktu analizy w języku uzupełnień).
Właściwie możemy pójść dalej i powiedzieć, że izomorfizm sprzężenia $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$, który a priori jest po prostu naturalnie zachowującym się bijakiem zbiorów, można wzbogacić o izomorfizm w Bang: $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$.
To jest Ćwiczenie 20 , na stronie 167 w Wykładach i ćwiczeniach z analizy funkcjonalnej autorstwa Helemskii .
Bardziej obszerną dyskusję prowadzi Jiří Rosický w Czy przestrzenie Banacha są monadyczne? , arXiv: 2011.07543 .