Generowanie intuicji funkcji

Question

Próbuję zrozumieć zastosowanie funkcji generujących. Zrozumiałem, że możemy skompresować sekwencję w funkcję generującą, tak aby każdy współczynnik wielomianu, który generuje, był elementami ciągu. Ale nie rozumiem, co zmieniają dane wejściowe?

Powiedzmy, że mamy funkcję generującą: $$G(x)=\sum^\infty_{k=0} p_k x^k$$

Co się dzieje, gdy nadajemy innym wartości $x$co zmienia się intuicyjnie? Myślałem, że$x^k$ termin był tam, aby zakodować lokalizację współczynnika w sekwencji, ponieważ nie możemy dodać $p_ax^a$ i $p_bx^b$ gdyby $ a \neq b$, tak aby terminy pozostały niejednorodne. Ale widziałem to dla rozkładu prawdopodobieństwa własności$G(1)=1$trzeba trzymać. Czy to jedyny przypadek, w którym nadanie wartości x jest przydatne?

Z góry dziękuję za wyjaśnienia.

Answer 1

Gdyby $X$ jest dyskretną zmienną losową przyjmującą wartości w nieujemnych liczbach całkowitych $\{0,1, \dots\}$, to funkcja tworząca prawdopodobieństwo $X$ jest zdefiniowany jako:

$$\color{blue}{\displaystyle G(z)=\mathbb{E} \left(z^{X}\right)=\sum_{x=0}^{\infty }p(x)\;z^{x}}$$

gdzie $p$ jest funkcją masy prawdopodobieństwa $X$. Wybór$z$ zamiast $x$jest po prostu związany z ideą, że to, co robimy, jest transformacją z .

Zwróć uwagę na to, co następuje $z$ zachowuje się jak sznur do wieszania interesujących nas wartości, które są odzyskiwane po zróżnicowaniu i oszacowaniu $0$ odzyskać PMF lub o godz $1$odpowiednio na chwilę. Ta magia dzieje się dzięki temu$z$ albo staje się $0$ w całym ogonie terminów (PMF) lub $1.$ Ale w obu przypadkach nie jest ona związana ze zmienną losową i nie dostarcza żadnych informacji - jest odpowiednikiem zmiennej fikcyjnej.

CHARAKTERYSTYKA:

1. DAJE MOŻLIWOŚCI poprzez rozróżnienie:

$$\color{blue}{\large p_i = \left. \frac{1}{i!}\quad\frac{d^i \, G(z)}{dx^i} \right|_{z=0}=\frac{1}{i!} \;G^{(i)}\;(0)}$$

1. $G\,(1)=1$ dlatego $$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty p_i \; 1^i=1$$

2. Pierwsza różnica

$$G^{(1)}(z) =\frac{d}{dz}\mathbb E\left[z^X\right]=\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]$$

1. Pierwsza różnica oceniana na $1$ daje ci średni: $$G^{(1)}(1) =\left.\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]\right|_{z=1}=\mathbb E\left[X\quad1^{X-1}\right]= \mathbb E[X].$$

2. Druga pochodna wyceniona na $1$ jest momentem silni i NIE JEST wariancją, ponieważ drugi człon nie jest podniesiony do kwadratu.

$$\begin{align}G^{(2)}\;(1) &=\frac{d^2}{dz^2}\; \left.\mathbb E\left[z^X\right]\right|_{z=1}\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\;z^{X-2}\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left [X^2-X\right ]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X^2\right] - \mathbb E\left[X\right]\end{align}$$

1. Uogólniając zatem, plik $i$-ta pochodna wyceniona na $1$ jest $i$-ty moment silni:

$$G^{(i)}\;(1)= \mathbb E\left[X\;(X-1)\;\cdots\;(X-i+1)\right]$$

1. Aby uzyskać wariancję,

$$\begin{align}\sigma^2 &= \mathbb E\left[X^2\right]-\mathbb E\left[X\right]^2 \\[2ex] &=G^{(2)}\;(1)+G^{(1)}\;(1)-\left[G^{(1)}\;(1)\right]^2 \end{align}$$

1. Możemy uzyskać surowe momenty, różnicując pgf i mnożąc go przez $z$:

$$\mathbb E\left[X^i\right]= \left. \left( z\;\left(\frac{d}{dz}\right)^i \; G(z)\right)\right|_{z=1}$$