Ile słów z czterema literami można utworzyć, jeśli można użyć maksymalnie jednej litery $2$ czasy?

Question

Masz pięć liter $A, B, C, D$ i $E$. Ile słów składających się z czterech liter można utworzyć, jeśli można użyć maksymalnie jednej litery$2$czasy? (w słowie pojawia się litera$0, 1$ lub $2$ czasy.)

próbowałem $5\cdot4\cdot3\cdot3$ a potem pomyślałem, że pozycje można ustawić w $4\cdot3\cdot2\cdot1$. Jednak należy to podzielić przez$2$ dlatego $A~A~\_~\_$ i $A~A~\_~\_$są takie same wyniki. Ale odpowiedź, którą otrzymałem, nie była poprawna. Prawidłowa odpowiedź według klucza to$540$.

Answer 1

Z $5$ litery, które możesz zrobić $5^4$ czteroliterowe słowa.

Ale wśród tych słów

• są takie z jedną literą, która jest powtarzana czterokrotnie (są oczywiście $5$ takie słowa);
• i są słowa z literą powtórzoną trzykrotnie. Tam są$5 \times 4 \times 4$ takie słowa (rzeczywiście musisz wybrać potrójną literę - $5$ możliwości, druga litera - $4$ pozostawione możliwości i wreszcie miejsce na drugą literę - $4$ możliwości).

Zatem całkowita liczba słów, które chcesz policzyć, wynosi $$5^4 - 5 - 5\times 4 \times 4 = 540$$

Answer 2

Możliwe są trzy przypadki.

1. Wszystkie litery są różne

Lubić ($A, B, C, D$). Wybieranie$4$ litery z $5$ a układanie ich daje $\displaystyle{5\choose 4}\cdot 4!=120$ sposoby.

2. Dwa różne i dwa takie same

(Lubić $A,B,C,C$). Wybieranie$3$ litery z $5$ i ponownie wybierając jedną z nich $3$ litery jako czwarta litera i ich układanie: $\displaystyle{5\choose 3}\cdot{3\choose 1}\cdot\frac{4!}{2!}=360$ sposoby.

3. Tylko dwie różne litery

(Lubić $A,A,C,C$). Wybieranie$2$ litery z $5$ listy i układanie prezentów $\displaystyle{5\choose 2}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=60$ sposoby.

Dodanie tych wszystkich daje nam $540$.