Jak korzystać z Wikipedii, tabeli współczynników Clebscha-Gordana?
Wikipedia ma fajny artykuł przedstawiający współczynniki Clebscha-Gordana .
Na przykład, według mojego zrozumienia, ta tabela mówi nam, jak połączyć dwie cząstki, z których każda ma maksymalny całkowity moment pędu $1$ w jedną funkcję falową z maksymalnym momentem pędu $2$:

Weź pierwszą kolumnę z ostatniej tabeli. Mówi nam, jak sądzę:
$|2,0\rangle = \sqrt{\frac{1}{6}} |1,1\rangle |1,-1\rangle +\sqrt{\frac{2}{3}}|1,0\rangle|1,0\rangle+\sqrt{\frac{1}{6}} |1,-1\rangle|1,1\rangle$
Jak to interpretuję:
Całkowity moment pędu cząstki, który powstaje z takiej kombinacji funkcji falowych dwóch innych cząstek, będzie miał całkowitą kwantową liczbę kwantową 2 (więc całkowity pęd kątowy $\sqrt{j(j+1)\hbar^2}=\sqrt{2(2+1)\hbar^2}$), ale $0$ wokół $z$ oś (jak $m_j$, co rozumiem jako moment pędu wokół $z$ oś jest $0$).
Zatem moment pędu cząstki składowej nie jest wyrównany względem siebie, w rzeczywistości są one wystarczająco wyrównane, aby całkowity moment pędu w kierunku z wyniósł 0.
Czy ta interpretacja tego, co się dzieje, jest prawidłowa? Martwię się, że nie ma stołów$m=-1,-2$. Jeśli moja interpretacja sytuacji jest prawidłowa, nie widzę powodu, dla którego nie mógłbym stworzyć połączonej cząstki z nimi$m$ wartości, jeśli mogę to zrobić $m=0,1,2$.
Odpowiedzi
Artykuł w Wikipedii mówi, co następuje:
Dla zwięzłości rozwiązania z $M < 0$ i $j_1 < j_2$są pominięte. Można je obliczyć za pomocą prostych relacji $$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{1},j_{2};-m_{1},-m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,-M\rangle .$$ i $$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{2},j_{1};m_{2},m_{1}\mid j_{2},j_{1};J,M\rangle.$$
Innymi słowy, współczynniki Clebscha-Gordona dla ujemnej wartości $m$ są takie same (do znaku), jak te dla odpowiedniej dodatniej wartości $m$, o ile zmienisz znaki $m_1$ i $m_2$ także.