Jak wyprowadzić „dobrze znane” rozwiązanie nieograniczonego wzmocnienia macierzy?
Czy ktoś może wskazać mi stronę internetową lub inne źródło, które pokazuje, jak analitycznie rozwiązać wyrażenie Unconstrained Array Gain formujące wiązkę w artykule Henry'ego Coxa z 1987 r. IEEE „Robust Adaptive Beamforming”?
$$ \max_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$
Cox mówi:
Dobrze znanym rozwiązaniem jest $\mathbf{w} = \alpha\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}$
Chciałbym tylko lepiej to zrozumieć, ucząc się, jak wyprowadzić to sam.
Odpowiedzi
Możesz rozwiązać taki problem stosując metodę mnożników Lagrange'a . Po pierwsze, zauważ, że maksymalizacja wyrażenia w pytaniu jest równoważna zminimalizowaniu funkcji odwrotnej:
$$\min_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}}{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}\tag{1}$$
Następnie zwróć uwagę, że rozwiązanie $(1)$ jest niezmienna do skalowania $\mathbf{w}$czyli wymiana $\mathbf{w}$ przez $c\cdot\mathbf{w}$ w $(1)$ z dowolną stałą skalarną $c$nie zmieni wartości funkcji. Więc równie dobrze możemy użyć takiego skalowania$\mathbf{w}^H\mathbf{d}=1$jest spełniony. To skalowanie odpowiada odpowiedzi jedności dla żądanego sygnału. Z tym ograniczeniem problem$(1)$ można przeformułować jako
$$\min_{\mathbf{w}}\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}\qquad\textrm{s.t.}\qquad \mathbf{w}^H\mathbf{d}=1\tag{2}$$
Możemy rozwiązać $(2)$ stosując metodę mnożników Lagrange'a poprzez minimalizację
$$\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-\lambda(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-1)\tag{3}$$
Formalnie biorąc pochodną $(3)$ z szacunkiem do $\mathbf{w}^H$ a ustawienie na zero daje
$$\mathbf{w}=\lambda\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}\tag{4}$$
Ograniczenie w $(2)$ jest zadowolony
$$\lambda=\frac{1}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{5}$$
Od $(4)$ i $(5)$ w końcu otrzymujemy
$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{6}$$
Zwróć uwagę, że skalowanie w $(6)$ jest opcjonalne, a ogólne rozwiązanie jest podane przez $(4)$.
Najpierw szkic rozwiązania problemu maksymalnego formowania wiązki SINR $$ \text{max}_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$ Zacznij od zapisania funkcjonału $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w} $$które mają być zminimalizowane oraz zestaw ograniczeń . Rzeczywiście, wektory wag w i w H są uważane za dwa niezależne zbiory zmiennych podczas wykonywania pochodnych w odniesieniu do tych zmiennych; dlatego energia sygnału wyjściowego, zwykle zapisywana jako kwadratowy moduł współproduktu waga-sygnały, musi być zapisana jako funkcja analityczna, bez obliczania normy, która przyjmuje pierwiastek kwadratowy:$$ |\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2 = \mathbf{w}^H\mathbf{d}·\mathbf{d}^H\mathbf{w} $$ Wynikowy zestaw więzów liniowych to $$ \mathbf{w}^H\mathbf{d} = c \\ \mathbf{d}^H\mathbf{w} = c^* $$ i musimy zapisać Lagrangian z dwoma mnożnikami Lagrange'a, λ i μ: $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-λ(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-c)-μ(\mathbf{d}^H\mathbf{w}-c^*) $$Biorąc dwie pochodne Lagrangianu - pierwszą w odniesieniu do w , a drugą w odniesieniu do w H - otrzymujemy wyrażenia na λ i μ i podstawiając je do wyrażeń ograniczających, ostatecznie dochodzimy do wzór na odważniki:$$ \mathbf{w}=c\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}} $$Ku mojemu zdziwieniu, przeszukując sieć w poszukiwaniu „strony internetowej lub innego zasobu, który pokazuje, jak analitycznie rozwiązać formator wiązki” na żądanie OP, mogłem znaleźć tylko ograniczone, wadliwe wersje wyprowadzenia tego wzoru, typowy dokument będący notatkami kursu Optymalne kształtowanie wiązki , szczegółowe i przydatne wprowadzenie do tematu we wszystkich innych aspektach. Podejrzewam nawet, że OP opublikował pytanie w celu rozpowszechnienia tego pominięcia zasobu edukacyjnego (wybacz moją niezręczną próbę żartowania).
Na razie mogę tylko polecić materiał do nauki ogólnego programowania kwadratowego z ograniczeniami liniowymi uczniom zainteresowanym optymalnym formowaniem wiązki. Na przykład refs.https://www.math.uh.edu/~rohop/fall_06/Chapter3.pdf i https://www.cis.upenn.edu/~cis515/cis515-20-sl15.pdf. W tych dokumentach uwzględniono tylko formy kwadratowe o wartościach rzeczywistych, ale główne wyniki można uogólnić na dziedzinę złożoną.