Jak wziąć pod uwagę ten wielomian?

Nov 25 2020

Próbowałem wziąć pod uwagę ten wielomian:

$x^3 + x^2 - 16x + 20$

W tym pytaniu są cztery opcje:

  1. ( a ) Można to uwzględnić w następującej formie:$(x^2 + b)(x+c)$;
  2. ( b ) Można to uwzględnić w następującej formie:$(x+b)(x+c)(x+d)$, przy założeniu, że $b \neq c \neq d$
  3. ( c ) Nie można tego uwzględnić.
  4. ( d ) Można to uwzględnić w następującej formie:$(x+b)^2 (x+c) $

Oto, jak próbowałem to zrobić: próbowałem wziąć pod uwagę, grupując x, dlatego otrzymałem: $x(x^2 + x - 16) + 20$. Teraz umieściłem$x$ i $20$ razem: $(x+20)(x^2 + x - 16)$. Następnie spróbowałem wziąć pod uwagę drugi termin:$(x+20)(x-16)(x+1)$. Zatem zgodnie z tym algorytmem odpowiedź brzmiałaby „b”.

Ukończyłem test (to symulacja do testu wstępnego, który mam zamiar zrobić), przesyłam odpowiedzi i zauważyłem, że to pytanie nie jest poprawne.

Odpowiedzi

9 KingLogic Nov 25 2020 at 14:23

Jak zauważył @Fernis w komentarzach,

Nie możesz wykluczyć $(x+20)$tak jak zrobiłeś. Nie ma wspólnego czynnika$(x+20)$ pomiędzy $x^2+x−16$ i $20$.

Używając https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem, możesz wiedzieć, że możliwe są racjonalne korzenie $\pm 1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$.

Dzięki inspekcji i podziałowi wielomianów / syntetycznych można uzyskać $(x-2)^2(x-5)$, jak powiedział @saulspatz. Dlatego (d) jest twoją odpowiedzią.

4 YvesDaoust Nov 25 2020 at 14:31

Najłatwiejszym do wypróbowania jest (d), ponieważ mówi, że wielomian ma podwójny pierwiastek. Poszukamy pierwiastka pochodnej i sprawdzimy, czy anuluje on wielomian.

$$3x^2+2x-16=0\iff x=2\text{ or }x=-\dfrac83.$$

Teraz $p(2)=0$, bingo!

2 Nikhil Nov 25 2020 at 14:46

Ten jest łatwy do uwzględnienia. Zobaczmy, jak to zrobić.

Zacznij od podłączenia $x=0,1,-1,2$ i tak dalej.

Przekonasz się, sprawdzając to $x=2$jest zerem wielomianu. W związku z tym,$(x-2)$ jest jego czynnikiem.

Teraz uwzględnij wielomian w taki sposób, że $(x-2)$ staje się powszechne.

$$x^3+x^2-16x+20$$ $$=x^3-2x^2+3x^2-6x-10x+20$$ $$=x^2(x-2)+3x(x-2)-10(x-2)$$ $$=(x-2)(x^2+3x-10)$$ $$=(x-2)(x^2+5x-2x-10)$$ $$=(x-2)[x(x+5)-2(x+5)]$$ $$=(x-2)^2(x+5)$$